Gruppenhomomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 28.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Ist die Abbildung [mm] f:\IZ/p\IZ \to \IZ/p\IZ, [/mm] z [mm] \mapsto z^{p} [/mm] ein gruppenhomomorphismus? (mit der Verknüpfung+, p prim)? |
Hallo^^
Ich hab einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe,ich hab zwar die Lösung dazu,versteh die aber nicht.
Zunächst ist f genau dann ein GH, wenn f(g+h)=f(g)+f(h), g,h [mm] \in \IZ/p*\IZ
[/mm]
Es ist [mm] f(g)+f(h)=g^{p}+h^{p} [/mm] und [mm] f(g+h)=(g+h)^{p} \not=f(g)+f(h).
[/mm]
Also hätte ich gesagt,ist es kein GH, aber in der Lösung steht,dass es einer ist, weil f(g+h) und f(g)+f(h) in der selben Restklasse liegen.
Ich verstehe das nicht, woran sehe ich denn,dass die in der selben Restklasse liegen?
lg
|
|
| |
|
> Ist die Abbildung [mm]f:\IZ/p\IZ \to \IZ/p\IZ,[/mm] z [mm]\mapsto z^{p}[/mm]
> ein gruppenhomomorphismus? (mit der Verknüpfung+, p
> prim)?
> Hallo^^
>
> Ich hab einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe,ich hab
> zwar die Lösung dazu,versteh die aber nicht.
> Zunächst ist f genau dann ein GH, wenn f(g+h)=f(g)+f(h),
> g,h [mm]\in \IZ/p*\IZ[/mm]
>
> Es ist [mm]f(g)+f(h)=g^{p}+h^{p}[/mm] und [mm]f(g+h)=(g+h)^{p} \not=f(g)+f(h).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Also hätte ich gesagt,ist es kein GH, aber in der Lösung
> steht,dass es einer ist, weil f(g+h) und f(g)+f(h) in der
> selben Restklasse liegen.
> Ich verstehe das nicht, woran sehe ich denn,dass die in
> der selben Restklasse liegen?
>
> lg
Einfach gesagt:
Multipliziere (g+h)^{p] mal aus (binomische Formel). Dort haben fast alle Summanden dann als einen Faktor das p, d.h. im Restklassenkörper spielen die keine Rolle mehr und übrig bleiben eben nur der erste und der letzte Summand - genau das, was du für die Behauptung brauchst.
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> haben fast alle Summanden dann als einen Faktor das p, d.h.
> im Restklassenkörper spielen die keine Rolle mehr und
> übrig bleiben eben nur der erste und der letzte Summand -
> genau das, was du für die Behauptung brauchst.
>
Ok, dann krieg ich [mm] (g+h)^{p}=g^{p}+h^{p}. [/mm] Ich wollte das jetzt an ein paar konkreten Zahlen prüfen, aber mir bereitet dieses [mm] \IZ/p\IZ [/mm] noch Probleme. Das [mm] \IZ/p\IZ [/mm] ist doch einfach die Menge aller Restklassen aller Primzahlen. So,die erste Primzahl ist 2, diese hat die Reste 1 und 0, die nächste Primzahl hat die Reste 0,1 und 2, die 5 hat die Reste 0,1,2,3 und usw. mit den anderen Primzahlen.
So dann nehme ich mir zwei Zahlen aus den Restklassen g=2, h=3 und p=3 und überprüfe die Gleichung: [mm] (2+3)^{3}=125 \not= (2^{3})+(3^{3})=35.
[/mm]
Was mache ich hier falsch? Es hat wohl irgendwas mit den Restklassen zu tun,aber ich weiß nicht was.
lg
|
|
|
| |
|
Hallo
> So dann nehme ich mir zwei Zahlen aus den Restklassen g=2,
> h=3 und p=3 und überprüfe die Gleichung: [mm](2+3)^{3}=125 \not= (2^{3})+(3^{3})=35.[/mm]
Du bist also in [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm]. Dann ist [mm]g = 2, h = 3 = 0[/mm].
>
> Was mache ich hier falsch? Es hat wohl irgendwas mit den
> Restklassen zu tun,aber ich weiß nicht was.
Du hast natürlich richtig gerechnet (denn 3 = 0). Jedoch musst du ja alles modulo 3 betrachten.
Es gilt [mm]125 \equiv 2 mod 3[/mm] und [mm]35 \equiv 2 mod 3[/mm]. Somit ist [mm]125 = 35[/mm] in [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm] und die Gleichheit gilt.
>
> lg
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
>
> Du hast natürlich richtig gerechnet (denn 3 = 0). Jedoch
> musst du ja alles modulo 3 betrachten.
>
> Es gilt [mm]125 \equiv 2 mod 3[/mm] und [mm]35 \equiv 2 mod 3[/mm]. Somit
> ist [mm]125 = 35[/mm] in [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm] und die Gleichheit
> gilt.
>
> >
ich verstehe nicht wie man da drauf kommt, dass z. B. 125= 2mod3 ist.. wie kommt man da drauf? Kann mir das jemand vielleicht erklären?
Vielen Dank
>
>
|
|
|
| |
|
Hey
> ich verstehe nicht wie man da drauf kommt, dass z. B. 125=
> 2mod3 ist.. wie kommt man da drauf? Kann mir das jemand
> vielleicht erklären?
Nun, beim Modularrechnen betrachtest du ja die Reste, die durch Division mit der entsprechenden Zahl entstehen. In diesem Fall ist ja [mm] $3\cdot [/mm] 41 = 123$ und entsprechend 125 durch 3 ergibt 41 mit dem Rest 2.
Also ist $125 [mm] \equiv [/mm] 2$ modulo 3
>
> Vielen Dank
>
Liebe Grüsse,
Amaro
|
|
|
| |
|
Vielen Dank :D ich hab es endlich verstanden danke:)
|
|
|
|
