Gruppenhomomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige, dass
[mm] \phi: \sigma_n [/mm] -> [mm] GL_n (\IK), \phi (\sigma) :=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm] einen Gruppenhomomorphismus bildet. |
d.h ja es gilt zuzeigen, dass
[mm] \phi(\sigma \circ \sigma' [/mm] ) = [mm] \phi(\sigma) \phi(\sigma') [/mm] für je zwei Permutationen [mm] \sigma, \sigma' \in \sigma_n
[/mm]
[mm] \phi(\sigma) [/mm] = [mm] (e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm]
[mm] \phi (\sigma')=(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)}) [/mm]
[mm] \phi (\sigma) [/mm] + [mm] \phi' (\sigma) =(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) +(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)}) [/mm] = [mm] (e_{\sigma(1)}+e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma(n)}+e_{\sigma'(n)})
[/mm]
Ich komme da nicht weiter und weiß nicht wie und wie ich es begründe weiter umzuformen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 So 18.03.2012 | | Autor: | hippias |
> Zeige, dass
> [mm]\phi: \sigma_n[/mm] -> [mm]GL_n (\IK), \phi (\sigma) :=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})[/mm]
> einen Gruppenhomomorphismus bildet.
> d.h ja es gilt zuzeigen, dass
> [mm]\phi(\sigma \circ \sigma'[/mm] ) = [mm]\phi(\sigma) \phi(\sigma')[/mm]
> für je zwei Permutationen [mm]\sigma, \sigma' \in \sigma_n[/mm]
>
Richtig. Beachte aber, dass rechts die Verknuepfung in [mm] $GL_n (\IK)$ [/mm] gemeint ist, also die Multiplikation und nicht Addition von Matrizen gemeint ist. Ferner musst Du wissen, welche Permutationsmatrix sich hinter [mm] $(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})$ [/mm] verbirgt. Damit sollte sich ergeben, dass [mm] $(e_{\sigma\sigma'(1)}|...|e_{\sigma\sigma'(n)})= (e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})$ [/mm] ist.
> [mm]\phi(\sigma)[/mm] = [mm](e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})[/mm]
> [mm]\phi (\sigma')=(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
> [mm]\phi (\sigma)[/mm] + [mm]\phi' (\sigma) =(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) +(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
> =
> [mm](e_{\sigma(1)}+e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma(n)}+e_{\sigma'(n)})[/mm]
>
> Ich komme da nicht weiter und weiß nicht wie und wie ich
> es begründe weiter umzuformen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Beachte aber, dass rechts die Verknuepfung in $ [mm] GL_n (\IK) [/mm] $ gemeint ist, also die Multiplikation und nicht Addition von Matrizen gemeint ist. Ferner musst Du wissen, welche Permutationsmatrix sich hinter $ [mm] (e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm] $ verbirgt.
[mm] GL_n (\IK) [/mm] sind ja sonst die invertierbaren Matrizen, wenn ich mich nicht irre.
Die Reihenfolge der Einheitsvektoren wird hier vertauscht.
$ [mm] \phi(\sigma) [/mm] $ = $ [mm] (e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm] $
$ [mm] \phi (\sigma')=(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)}) [/mm] $
[mm] \phi (\sigma) [/mm] * [mm] \phi(\sigma') =(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)}) [/mm] =
Ich weiß ja nun nicht an welcher Stelle der erste,zweite,dirtte Einheitsvektor steht.
Aber ich weiß dass [mm] e_{\sigma'(1)} [/mm] einmal vorkommen muss in [mm] (e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm] sonst ergibt sich jeweils 0 da man immer zwei verschiedene einheitsvektoren multipliziert.
Aber ich weiß nicht an welcher STelle.
Kannst du mir da nochmal kurz helfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> [mm]GL_n (\IK)[/mm] sind ja sonst die invertierbaren Matrizen, wenn
> ich mich nicht irre.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\phi(\sigma)[/mm] = [mm](e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})[/mm]
> [mm]\phi (\sigma')=(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
> [mm]\phi (\sigma)[/mm]
> * [mm]\phi(\sigma') =(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
> =
Nennen wir diese Matrix mal A.
Die i-te Spalte einer Matrix ist das Bild von [mm] e_i [/mm] unter der Matrix.
Bestimme also die i-te Spalte von A mittels
[mm] A*e_i=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *((e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})*e_i).
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Hallo sissile,
>
> > [mm]GL_n (\IK)[/mm] sind ja sonst die invertierbaren Matrizen, wenn
> > ich mich nicht irre.
>
>
> > [mm]\phi(\sigma)[/mm] = [mm](e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})[/mm]
> > [mm]\phi (\sigma')=(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
> >
> [mm]\phi (\sigma)[/mm]
> > * [mm]\phi(\sigma') =(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
> > =
> Nennen wir diese Matrix mal A.
>
> Die i-te Spalte einer Matrix ist das Bild von [mm]e_i[/mm] unter der
> Matrix.
>
> Bestimme also die i-te Spalte von A mittels
>
> [mm]A*e_i=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *((e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})*e_i).[/mm]
Du definierst A:= [mm] (e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})
[/mm]
A* [mm] e_i [/mm] = i-te SPalte von A
A * [mm] e_i= ((e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})) [/mm] * [mm] e_i
[/mm]
Ich glaub, ich versteh das nicht ganz, wie ich da ausmultiplizieren darf/kann, wenn ich nicht weiß an welcher stelle der i-te Einheitsvektor ist!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Du definierst A:= [mm](e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)})[/mm]
>
> A* [mm]e_i[/mm] = i-te SPalte von A
> A * [mm]e_i= ((e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) *(e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)}))[/mm]
> * [mm]e_i[/mm]
> Ich glaub, ich versteh das nicht ganz, wie ich da
> ausmultiplizieren darf/kann, wenn ich nicht weiß an
> welcher stelle der i-te Einheitsvektor ist!
Das schöne ist: Du musst gar nicht explizit eine Multiplikation ausrechnen. Es reicht wieder zu wissen, dass, [mm] $B\cdot e_i$ [/mm] für jede [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix B nichts anderes als die i-te Spalte von B ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
Was ist B? Hatten wir doch gar nicht definiert.
jetzt bin ich ganz verwirrt!! ^^
Kannst du mir da vlt den SChritt mit der Mltiplikation vorzeigen, ich steht da grad am schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Was ist B? Hatten wir doch gar nicht definiert.
Das stimmt. Ich schrieb:
> Es reicht wieder zu wissen, dass, für jede [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix B nichts anderes als die i-te Spalte von B ist.
Für uns hilfreich ist dieser Zusammenhang für [mm] B=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)})) [/mm] und [mm] B'=((e_{\sigma'(1)}|...|e_{\sigma'(n)}).
[/mm]
Es gilt:
[mm] $A\cdot e_i=(B\cdot B')\cdot e_i=B\cdot (B'\cdot e_i)=B\cdot (\mbox{i-te Spalte von B'})=\ldots$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
Ich danke dir für deine Erklärung.
>
[mm] A\cdot e_i=(B\cdot B')\cdot e_i=B\cdot (B'\cdot e_i)=B\cdot (\mbox{i-te Spalte von B'})=\ldots [/mm]
=B* [mm] (e_{\sigma(i)}) =\mbox{\sigma(i) -te Spalte von B}
[/mm]
Also ich A* [mm] e_1 =\mbox{\sigma(1) -te Spalte von B}
[/mm]
[mm] ...A*e_n =\mbox{\sigma(n) -te Spalte von B}
[/mm]
also ist A=( [mm] \mbox{\sigma(1) -te Spalte von B}|...|\mbox{\sigma(n) -te Spalte von B})
[/mm]
Es tut mir leid ich brauch noch einmal kurz deine Hilfe..
Nicht schimpfen.. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 18.03.2012 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Schreibweise $(e_{\sigma(1)},\ldots, e_{\sigma(n)})$ soll bedeuten, dass in der $i$-ten Spalte der Einheits(spalten)vektor mit der $1$ in der $\sigma(i)$-ten Zeile steht. Ferner gilt fuer eine Matrix $A$, dass $Ae_{k}$ die $k$-te Spalte von $A$ ist.
Nun rechne ich: $(e_{\sigma\sigma'(1)},\ldots, e_{\sigma\sigma'(n)})e_{k}= e_{\sigma\sigma'(k)}$ und $(e_{\sigma(1)},\ldots, e_{\sigma(n)})(e_{\sigma'(1)},\ldots, e_{\sigma'(n)})e_{k}= (e_{\sigma(1)},\ldots, e_{\sigma(n)}) e_{\sigma'(k)}$. Setze ich $k':= \sigma'(k)$, so folgt damit $(e_{\sigma(1)},\ldots, e_{\sigma(n)})(e_{\sigma'(1)},\ldots, e_{\sigma'(n)})e_{k}= e_{\sigma(k')$.
Ich hoffe Du erkennst jetzt, dass bei beiden Produkten der gleiche Einheitsvektor herauskommt. Daraus kannst Du schliessen, dass die Matrizen dann gleich sein muessen. Es folgt die Behauptung.
Das Schimpfen ueberlasse ich dann den anderen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Es tut mir leid ich brauch noch einmal kurz deine Hilfe..
> Nicht schimpfen.. ;)
Keine Sorge! Ich bin doch froh, wenn jemand nachfragt, bis alles klar ist.
> [mm]A\cdot e_i=(B\cdot B')\cdot e_i=B\cdot (B'\cdot e_i)=B\cdot (\mbox{i-te Spalte von B'})=\ldots[/mm]
> =B* [mm](e_{\sigma\red{'}(i)}) =\mbox{\sigma\red{'}(i) -te Spalte von B}[/mm]
Und die j-te Spalte (j=1,...,n) von B ist jeweils [mm] e_{\sigma(j)}. [/mm] Also ist die [mm] $j:=\sigma'_{i}$-te [/mm] Spalte von B gerade [mm] e_{\sigma(\sigma'(i))}.
[/mm]
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