Gruppenhomomorphismus, Z_3,Z_6 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Seien [mm] (\IZ_3 [/mm] , +) und [mm] (\IZ_6, [/mm] +) gegeben.Geben Sie zwei Gruppenhomomorphismen f: [mm] \IZ_3 [/mm] -> [mm] \IZ_6 [/mm] an |
Hallo
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IZ_3: [/mm] f(a)=0
So: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ_3 [/mm] : f(a)+f(b)=0+0=f(a+b)
Jetzt bin ich auf der Suche nach dem nicht trivialen Gruppenhomomorphismus. Kann mir wer einen Tipp dazu geben?
Liebe Grüße, sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Seien [mm](\IZ_3[/mm] , +) und [mm](\IZ_6,[/mm] +) gegeben.Geben Sie zwei
> Gruppenhomomorphismen f: [mm]\IZ_3[/mm] -> [mm]\IZ_6[/mm] an
> Hallo
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IZ_3:[/mm] f(a)=0
> So: [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ_3[/mm] : f(a)+f(b)=0+0=f(a+b)
>
> Jetzt bin ich auf der Suche nach dem
wieso der? Kannst Du begründen, warum es nur noch einen gibt/geben
sollte?
> nicht trivialen
> Gruppenhomomorphismus. Kann mir wer einen Tipp dazu geben?
Das Problem ist eigentlich die Wohldefiniertheit: Z.B. kannst Du nicht
[mm] $f([x]_3)=[x]_6$
[/mm]
setzen, weil etwa $1,4 [mm] \in [1]_3\,,$ [/mm] aber [mm] $[1]_6 \not=[4]_6$ [/mm] gilt.
Ich würde daher mal
[mm] $f([x]_3)=[2*x]_6$
[/mm]
probieren.
Ich teste mal die Wohldefiniertheit:
[mm] $f([0]_3)=[0]_6=[2*3]_6$
[/mm]
oder auch
[mm] $f([1]_3)=f([4]_3)$ [/mm] und [mm] $[2]_6=[8]_6$,
[/mm]
das sieht mal ganz gut aus.
Jetzt ist es an Dir, da einen formal sauberen Beweis zu basteln. Und auch
das Nachrechnen der Homomorphie-Eigenschaft ist nicht sonderlich schwer,
sofern man weiß, wie die Addition in den Restklassen durchzuführen ist (sie
wird ja mit Repräsentanten definiert - und da zeigt man ja auch erstmal, dass
diese Addition wohldefiniert ist, aber das nur nebenbei...).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke!
Sry, ich bin auf der Suche nach einer Funktion nicht nach der einen Funktion ;)
[mm] \forall {[a]}_3,{[b]}_3 \in\IZ_3:
[/mm]
[mm] f({[a]}_3 +{[b]}_3)=f( {[a+b]}_3)={[2{[a+b]}_3]}_6= {[2]}_6 [/mm] * [mm] {[{[a+b]}_3]}_6 [/mm]
[mm] f({[a]}_3)+ f({[b]}_3) [/mm] = [mm] {[2*{[a]}_3]}_6 [/mm] + [mm] {[2*{[b]}_3]}_6 [/mm] = [mm] {[2*{[a]}_3+2*{[b]}_3]}_6= {[2]}_6 [/mm] * [mm] {[{[a]}_3+{[b]}_3]}_6= {[2]}_6 [/mm] * [mm] {[{[a+b]}_3]}_6 [/mm]
[mm] =>f({[a]}_3 +{[b]}_3)=f({[a]}_3)+ f({[b]}_3)
[/mm]
Kann sein, dass ich es leicht komplizierter aufgeschrieben habe als es sein müsste.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
> Danke!
> Sry, ich bin auf der Suche nach einer Funktion nicht nach
> der einen Funktion ;)
>
$ [mm] \forall {[a]}_3,{[b]}_3 \in\IZ_3: [/mm] $
$ [mm] f({[a]}_3 +{[b]}_3)=f( {[a+b]}_3)={[2{[a+b]}_3]}_6$
[/mm]
moment: Es war per Def.
[mm] $f([a+b]_3)=[2*(a+b)]_6=[2*a+2*b]_6\,,$
[/mm]
die Multplikation $2*(a+b)$ ist eine in [mm] $\IZ\,.$ [/mm] Sowas wie [mm] ${[...[...]_3]}_6$ [/mm] gehört da
nicht hin.
> $= [mm] {[2]}_6 [/mm] $ * $ [mm] {[{[a+b]}_3]}_6 [/mm] $
Auch hier: Es ist doch gar nicht [mm] $[a+b]_3 \in [q]_6$ [/mm] für ein [mm] $[q]_6 \in \IZ/6\IZ\,,$
[/mm]
sondern wir betrachten $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $a+b [mm] \in [a+b]_3\,.$
[/mm]
> $ [mm] f({[a]}_3)+ f({[b]}_3) [/mm] $ = $ [mm] {[2\cdot{}{[a]}_3]}_6 [/mm] $ + $ [mm] {[2\cdot{}{[b]}_3]}_6 [/mm] $ = $ [mm] {[2\cdot{}{[a]}_3+2\cdot{}{[b]}_3]}_6= {[2]}_6 [/mm] $ * $ [mm] {[{[a]}_3+{[b]}_3]}_6= {[2]}_6 [/mm] $ * $ [mm] {[{[a+b]}_3]}_6 [/mm] $
Also nochmal: Du solltest hier durchaus Wert darauf legen, dass wir mit
[mm] $f([x]_3):=[2*x]_6$ ($\cdot$ [/mm] ist hier die Multiplikation in [mm] $(\IZ,\cdot)$)
[/mm]
eine WOHLDEFINIERTE Funktion haben.
Die Homomorphieeigenschaft ist etwas anders aufzuschreiben:
Seien [mm] $[a]_3, [b]_3 \in \IZ_3$ [/mm] (Du schreibst ja [mm] $\IZ_3=\IZ/3\IZ$). [/mm] Dann gilt einerseits
[mm] $f([a]_3\red{\,\textbf{+}\,}[b]_3)=f([\underbrace{a+b}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_3)=[\underbrace{2*(a+b)}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_6=[\underbrace{2*a\;+\;2*b}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_6=[\underbrace{2*a}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_6\blue{\,\textbf{+}\,}[\underbrace{2*b}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_6$ [/mm]
sowie andererseits
[mm] $f([a]_3)\blue{\,\textbf{+}\,}f([b]_3)=[\underbrace{2*a}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_6\blue{\,\textbf{+}\,}[\underbrace{2*b}_{\text{wir rechnen in }(\IZ,+,*)}]_6$
[/mm]
Die fette rote Addition ist die in [mm] $\IZ_3\,,$ [/mm] die natürlich auch mithilfe der Addition der
Repräsentanten aus [mm] $(\IZ,+,*)$ [/mm] definiert wird - die fette blaue ist die in [mm] $\IZ_6\,.$
[/mm]
Irgendwie denkst Du da zu verquert...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
Danke, ich hab das anscheinend durcheinander gebracht.
Vielen lieben Dank,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mi 15.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Wir müssen die Bilder für die Urbilder 0,1,2 angeben.
Da es sich um einen Homomorphismus handelt, gilt $f(0)=0$.
Wegen 1+2=0 in [mm] $\mathbb{Z}_3$ [/mm] und der Homomorphie muss auch
$f(1)+f(2)=0$ (in [mm] $\mathbb{Z}_6$) [/mm] gelten, sowie
$f(1)+f(1)=f(2)$ (ebenda)
Das schränkt die Wahl sehr übersichtlich ein.
Wie viele Homomorphismen gibt es insgesamt? Findest du alle?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Mhmm..
Daraus kann ich folgern:
f(1)+(f(1)+f(1))=0
[mm] \gdw [/mm] 3* f(1) = 0
Daraus folgt, dass f(1) in der Äquivalenzklasse von 4 oder 2 ist.
Aber weiter bin ich noch nicht gekommen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 15.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
>
> Mhmm..
> Daraus kann ich folgern:
> f(1)+(f(1)+f(1))=0
> [mm]\gdw[/mm] 3* f(1) = 0
> Daraus folgt, dass f(1) in der Äquivalenzklasse von 4
> oder 2 ist.
> Aber weiter bin ich noch nicht gekommen.
mach' Dir mal eine "Additionstabelle" für die Elemente
[mm] $f([0]_3),\;f([1]_3)$ [/mm] und [mm] $f([2]_3)$
[/mm]
bzgl. der Addition in [mm] $\IZ_6\,.$ [/mm] Da kannst Du das, was MacMath sagte, schonmal
eintragen... (es muss etwa [mm] $f([0]_3)=[0]_6$ [/mm] sein - weiter kommt sowas wie "gleichzeitig
[mm] $f([1]_3)=[1]_6$ [/mm] und [mm] $f([2]_3)=[4]_6$" [/mm] nicht in Frage, weil ja [mm] $f([1]_3)+f([2]_3)=f([0]_3)=[0]_6$ [/mm]
sein muss, aber [mm] $[1]_6+[4]_6=[1+4]_6=[5]_6\not=[0]_6$ [/mm] ist).
Schreib vielleicht erstmal nur das rein, was MacMath sagte, was auf jeden
Fall in der Tabelle stehen muss. Dann siehst Du, welche Funktionswerte
noch *definierbar* bleiben.
Aber bedenke auch: Das sind Zusatzüberlegungen, die laut Aufgabe gar
nicht gefordert sind. (Was nicht heißt, dass ich es nicht gut fände, dass
Du Dich damit auseinandersetzt!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:29 Do 16.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Marcel,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 18.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 19.10.2014 | | Autor: | sissile |
Heiho,
Konnte bis jetzt das erweiterte Bsp mit dem Weg der Verknüpfungstafel nicht zu Ende führen. Würde aber gerne wissen wie man das macht. Da es ein erweitertes Bsp ist, ist es schwer in der Stunde zu fragen.
Könnt ihr meine Grafik überhaupt sehen?
Liebe Grüße,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Könnt ihr meine Grafik überhaupt sehen?
Ja, zumindest ich kann sie sehen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Wir sammeln einfach ein paar Regeln, die ein Hom. zwingend erfüllen muss.
$f(0)=0$ ist eh klar. Wir müssen nun noch $f(1)$ und $f(2)$ setzen.
Diese erfüllen aber $f(1)+f(1)=f(2)$ (*)
Wegen der weiteren Bedingung $f(1)+f(2)=f(0)$ bleiben nur recht wenige Fälle übrig, es muss nämlich gelten:
[mm] $(f(1),f(2))\in \{(0,0),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}$
[/mm]
Die Möglichkeiten $(1,5),(3,3),(5,1)$ stehen im Widerspruch zu (*), für die übrigen drei Kandidaten lässt sich zeigen, dass es sich um Homomorphismen handelt.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Di 21.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
danke für die Antwort.
Aber was bringt es dann solch eine Verknüpfungstabelle aufzustellen wie Marcel empfohlen hat?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hallo,
> danke für die Antwort.
> Aber was bringt es dann solch eine Verknüpfungstabelle
> aufzustellen wie Marcel empfohlen hat?
Damit stellst du die Verknüpfung vollständig dar. Insbesondere kann dir das bei den letztendlich übrigen Kandidaten für Homomorphismen helfen zu zeigen, dass es welche sind.
Teilweise lässt sich mein Hinweis auf gültige Identitäten auch dort direkt einbauen, ich habe einen anderen Weg gewählt. Das ist Geschmackssache.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 21.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal,
Eine Frage hab ich noch ;P
Wir haben doch $ [mm] (f(1),f(2))\in \{(0,0),(2,4),(4,2)\} [/mm] $ so gebildet, dass sie die Homomorphismus-Struktur respektieren. Dann ist doch klar, dass sie nicht im Widerspruch dazu stehen, dass f ein Homomorphismus ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Ich habe zum "filtern" der Kandidaten einige Eigenschaften (aber nicht alle!) verwendet, die ein Homomorphismus erfüllen muss. Aber ich glaube, ich hatte zum Beispiel nicht die Eigenschaft
$f(2)+f(2)=f(1)$ verwendet.
Kandidaten rauswerfen ist eine Sache, der Rest muss dann aber schon ordentlich geprüft werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 21.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
Achso:
[mm] f([x]_3 [/mm] + [mm] [y]_3) [/mm] = [mm] f([x]_3) [/mm] + [mm] f([y]_3)
[/mm]
Z.B für x=y=1 müsste ich dann nachprüfen:
[mm] f([1]_3) [/mm] + [mm] f([1]_3)=[0]_6+[0]_6=[0]_6=f([2]_3)=f([1]_3 [/mm] + [mm] [1]_3)
[/mm]
[mm] f([1]_3) [/mm] + [mm] f([1]_3)=[2]_6+[2]_6=[4]_6=f([2]_3)=f([1]_3 [/mm] + [mm] [1]_3)
[/mm]
[mm] f([1]_3) [/mm] + [mm] f([1]_3)=[4]_6+[4]_6=[2]_6=f([2]_3)=f([1]_3 [/mm] + [mm] [1]_3)
[/mm]
oder Z.B für x=1,y=2 müsste ich dann nachprüfen:
[mm] f([1]_3) [/mm] + [mm] f([2]_3)=[0]_6+[0]_6=[0]_6=f([0]_3)=f([1]_3 [/mm] + [mm] [2]_3)
[/mm]
[mm] f([1]_3) [/mm] + [mm] f([2]_3)=[2]_6+[4]_6=[0]_6=f([0]_3)=f([1]_3 [/mm] + [mm] [2]_3)
[/mm]
[mm] f([1]_3) [/mm] + [mm] f([2]_3)=[4]_6+[2]_6=[0]_6=f([0]_3)=f([1]_3 [/mm] + [mm] [2]_3)
[/mm]
oder Z.B für x=y=2 müsste ich dann nachprüfen:
[mm] f([2]_3) [/mm] + [mm] f([2]_3)=[0]_6+[0]_6=[0]_6=f([1]_3)=f([2]_3 [/mm] + [mm] [2]_3)
[/mm]
[mm] f([2]_3) [/mm] + [mm] f([2]_3)=[4]_6+[4]_6=[2]_6=f([1]_3)=f([2]_3 [/mm] + [mm] [2]_3)
[/mm]
[mm] f([2]_3) [/mm] + [mm] f([2]_3)=[2]_6+[2]_6=[4]_6=f([1]_3)=f([2]_3 [/mm] + [mm] [2]_3)
[/mm]
Damit hat man dann gezeigt, dass für alle Homomorphismen f von [mm] (\IZ_3, [/mm] +) -> [mm] (\IZ_6, [/mm] +) gelten muss:
$ [mm] (f(1),f(2))\in \{(0,0),(2,4),(4,2)\} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 22.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Ich denke du meinst das richtige ;)
Vorher hatten wir gezeigt dass alle anderen Kandidaten herausfallen.
Jetzt hast du gezeigt, dass diese drei Kandidaten funktionieren.
Der Fall x=2 y=1 ist hier nicht aufgeführt. Das ist auch nicht nötig, aber kannst du mir wenigstens sagen warum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 23.10.2014 | | Autor: | sissile |
> Ich denke du meinst das richtige ;)
>
> Vorher hatten wir gezeigt dass alle anderen Kandidaten
> herausfallen.
> Jetzt hast du gezeigt, dass diese drei Kandidaten
> funktionieren.
>
> Der Fall x=2 y=1 ist hier nicht aufgeführt. Das ist auch
> nicht nötig, aber kannst du mir wenigstens sagen warum?
Hallo,
wegen der Kommutativität in [mm] \IZ_3 [/mm] und [mm] \IZ_6.
[/mm]
Aber meintest du am Anfang mit:"Wie viele Homomorphismen gibt es insgesamt? Findest du alle? ", nicht das man noch mehr aussagen kann als,dass für alle Homomorphismen f von $ [mm] (\IZ_3, [/mm] $ +) -> $ [mm] (\IZ_6, [/mm] $ +) gelten muss:
$ [mm] (f(1),f(2))\in \{(0,0),(2,4),(4,2)\} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Do 23.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hallo,
> wegen der Kommutativität in [mm]\IZ_3[/mm] und [mm]\IZ_6.[/mm]
Passt.
> Aber meintest du am Anfang mit:"Wie viele Homomorphismen
> gibt es insgesamt? Findest du alle? ", nicht das man noch
> mehr aussagen kann als,dass für alle Homomorphismen f von
> [mm](\IZ_3,[/mm] +) -> [mm](\IZ_6,[/mm] +) gelten muss:
> [mm](f(1),f(2))\in \{(0,0),(2,4),(4,2)\}[/mm]
Dann hast du doch alle.
In [mm] $\IZ_3$gibt [/mm] es nur drei Elemente, die Restklassen $[0],[1],[2]$. Ich schreibe aus Faulheit weiter ohne eckige Klammern.
$f(0)=0$ ist klar. Die Möglichkeiten für $f(1),f(2)$ haben wir angegeben, und für jede der drei Möglichkeiten ergibt sich ein Hom.
Also hast du alle (drei) gefunden.
Gruß
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 16.10.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Je nachdem wie fit du in der Algebra bist: Du kannst den Satz vom induzierten Homomorphismus nehmen. Betrachte den Gruppenhomomorphismus [mm] $\varphi: \IZ\rightarrow \IZ_6, x\mapsto [2x]_6. [/mm] Er hat den Kern [mm] \IZ_3, [/mm] also folgt aus dem Satz, dass es einen Homomorphismus [mm] $\bar{\varphi}: \IZ_3\rightarrow \IZ_6$ [/mm] gibt, für den dann [mm] $\bar{\varphi}([x]_3)=[2x]_6$ [/mm] gilt, d.h. du musst keine Wohldefiniertheit mehr nachrechnen, auch wenn es hier einfach ist.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 17.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
dazu habe ich eien Frage.
[mm] ker(\Phi)=\{x \in \IZ | \Phi(x)=e_{\IZ_6}\} [/mm] = [mm] \Phi^{-1} ({e_{\IZ_6}})
[/mm]
wobei [mm] e_{\IZ_6}=[0]_6
[/mm]
Aber bei [2] [mm] \in \IZ_3 [/mm] ist [mm] \Phi(2)=[2*2]_6=[4]_6
[/mm]
Und 4 ist nicht in der selben Äquivalenzklasse wie 0 in [mm] \IZ_6
[/mm]
Hab ich da was falsch verstanden?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Abbildung [mm] \varphi [/mm] geht von [mm] $\IZ$ [/mm] nach [mm] $\IZ_6=\IZ/6\IZ$! [/mm] Nicht von [mm] $\IZ_3=\IZ/3\IZ$ [/mm] aus. Das heißt [mm] \varphi^{-1}([0]_6)=\{x\in\IZ\,|\,[2x]_6=[0]_6]\}=3\IZ.
[/mm]
Dann besagt der Satz über den induzierten Homomorphismus, dass es (genau einen) Homomorphismus [mm] \bar{\varphi} [/mm] von [mm] \IZ/\text{ker}(\varphi)=\IZ_3 [/mm] nach [mm] \IZ_6 [/mm] gibt mit [mm] \bar{\varphi}([x]_3)=[2x]_6.
[/mm]
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