Gruppenisomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 12.12.2007 | | Autor: | vju |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Gruppe (Q, +) nicht isomorph zu (Q, *) sein kann. |
Das soll anscheindend mit einem Wiederspruch gezeigt werden, wobei wir in etwa so anfangen könnten.
Angenommen man hat einen solchen Isomorph mit f: [mm] \IQ \to \IQ_+^\cdot{} [/mm] mit f(0) = 1 und f(a + b) = f(a) [mm] \cdot [/mm] f(b).
Die Aufgabe wurde bei uns in der Uebung leider aus zeitlichen Gründen nicht besprochen. Ich möchte den Beweis noch gerne nachvollziehen können. Würde mich freuen, wenn mir das irgendwann jemand erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Hi,
> Zeigen sie, dass die Gruppe (Q, +) nicht isomorph zu (Q, *)
> sein kann.
> Das soll anscheindend mit einem Wiederspruch gezeigt
> werden, wobei wir in etwa so anfangen könnten.
>
> Angenommen man hat einen solchen Isomorph mit f: [mm]\IQ \to \IQ_+^\cdot{}[/mm]
> mit f(0) = 1 und f(a + b) = f(a) [mm]\cdot[/mm] f(b).
>
> Die Aufgabe wurde bei uns in der Uebung leider aus
> zeitlichen Gründen nicht besprochen. Ich möchte den Beweis
> noch gerne nachvollziehen können. Würde mich freuen, wenn
> mir das irgendwann jemand erklären könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
der kern dieser frage liegt in dem hauptunterschied der beiden gruppen. (Bzw. die zweite menge ist gar keine gruppe...) denn die 0 hat kein inverses bzgl der multiplikation! wenn es aber einen solchen iso. gaebe, gaebe es auch ein urbild der 0, also [mm] $b:=f^{-1}(0)$, [/mm] denn f ist bijektiv. ueberlege dir mal, wie dieses b sich verhalten wuerde, zb. unter
[mm] $f(a+b)=\ldots$
[/mm]
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke hier handelt es sich um einen tippfehler, weiter unten steht ja auch [mm] $\mathbb{Q}_+$, [/mm] also schon eine gruppe. aber man kann wohl auf ähnliche art einen widerspruch erzeugen: $f(2) = f(1 + 1) = f(1) [mm] \cdot [/mm] f(1) = [mm] (f(1))^2$. [/mm] warum ist das unmöglich?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 18.12.2007 | | Autor: | vju |
Vielen Dank für eure Antworten.
Ja, ich hatte da leider einen Tippfehler drinne.
Sehe ich es richtig, dass (f(1))² unmöglich ist, weil wenn man es wurzelt kriegt man ja nicht immer etwas rationales raus. Die Zahl ist somit nicht unbedingt in Q enthalten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Di 18.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
war etwas ungeschickt aufgeschrieben von mir. besser so: sei $a$ ein (das) urbild von $2$ (warum gibt es das?). dann gilt $2 = f(a) = [mm] f\left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right) [/mm] = [mm] f\left( \frac{a}{2}\right) [/mm] f [mm] \left( \frac{a}{2} \right) [/mm] = [mm] \left[ f \left( \frac{a}{2} \right) \right]^2$. [/mm] und jetzt sollte deine idee mit der wurzel zum ziel führen.
grüße
andreas
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