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[mm] S^1 [/mm] ={W [mm] \in \IC [/mm] Betrag von W ist gleich 1}
zu zeigen ist :
1) [mm] S^1 [/mm] mit der Multiplikition von Komplexen Zahlen ist eine Gruppe.
2) [mm] S^1 [/mm] x [mm] \IC \to \IC [/mm] : (w,z) [mm] \mapsto [/mm] wz ist eine Gruppenoperation
3) bestimme die Bahnen diese Operation und zeige der Absolutbetrag von ( . ) : [mm] \IC \to \IR^+ [/mm] ist eine trennende Invariante dieser Operation .
wer kann mir helfen diese Aufgabe zu lösen , ich weiss nicht , wie ich anfangen kann .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sarah!
Wo liegen denn hier deine Probleme? Die Aufgabe ist echt einfach und es scheint mir nur darum zu gehen die Definitionen richtig anzuwenden.
Natürlich ist die [mm] $S^1$, [/mm] denn sie ist eine nichtleere Menge der Gruppe [mm] $(\IC\setminus\{0\},\cdot)$ [/mm] und es gilt mit $x,y [mm] \in S^1$ [/mm] wegen
[mm] $\vert [/mm] x [mm] \cdot y^{-1}\vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] x [mm] \vert \cdot \vert \frac{1}{y} \vert [/mm] = [mm] \underbrace{\vert x \vert}_{=\, 1} \cdot \frac{1}{\underbrace{\vert y \vert}_{=\, 1}} [/mm] = 1$
auch
$x [mm] \cdot y^{-1} \in S^1$.
[/mm]
Und natürlich ist
[mm] $\begin{array}{ccc} S^1 \times \IC & \to & \IC \\[5pt] (w,z) & \mapsto & w \cdot z \end{array}$
[/mm]
eine Operation von [mm] $S^1$ [/mm] auf [mm] $\IC$, [/mm] oder wer würde bestreiten, dass
$(w [mm] \cdot [/mm] w') [mm] \cdot [/mm] z = w [mm] \cdot [/mm] (w' [mm] \cdot [/mm] z)$
für $w,w' [mm] \in S^1$ [/mm] und $z [mm] \in \IC$
[/mm]
(nichts weiter als das Assoziativgesetz in [mm] $(\IC, \cdot)$)
[/mm]
und
$1 [mm] \cdot [/mm] z = z$
gilt?
Und warum ist der Betrag eine trennende Invariante der Operation?
Nun, ganz einfach:
Für $w [mm] \in S_1$ [/mm] und $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt:
$|w [mm] \cdot z|=\underbrace{|w|} \cdot [/mm] |z| = |z| $,
und Elemente aus [mm] $\IC$ [/mm] aus der gleichen Bahn unter dieser Operation (die Bahnen sind gerade die konzentrischen Kreise um den Nullpunkt) haben natürlich alle den gleichen Betrag.
Versuche das Letztere mal mathematisch exakt aufzuschreiben... 
Liebe Grüße
Stefan
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