Gültigkeit von Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(t) = [mm] \wurzel{g_{1}^2(t) + g_{2}^2(t)}. [/mm] Zeigen Sie, dass bei einer geeigneten Wahl von [mm] h_{1} [/mm] und [mm] h_{2} [/mm] die zweite Ableitung mit
f''(t) = [mm] \bruch{f(t)(h'_{1}(t)+h'_{2}(t)) - f'(t)(h_{1}(t) + h_{1}(t))}{f^2(t)}
[/mm]
angegeben werden kann. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Leute von Matheraum,
meine Kommillitonen und ich haben eine ganze Zeit an dieser Aufgabe herumgerechnet und sind uns nicht sicher, ob wir auf dem richtigen Weg sind.
Wir haben einfach mal aus der gegebenen Gleichung von f(t) die erste Ableitung gebildet. Zudem haben wir das gegebene f'' durch umgekehrte Anwendung der Quotientenregel beim Integrieren aufgeleitet.
Die beiden Terme haben wir dann gleichgesetzt.
Dabei kam heraus, dass [mm] h_1 [/mm] = [mm] g_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] = [mm] g_2 [/mm] gewählt werden sollte.
1. War das die richtige Taktik?
2. Ist das das richtige Ergebnis?
Vielen Dank für Eure Hinweise!
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Hallo nephamael,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Funktion f(t) = [mm]\wurzel{g_{1}^2(t) + g_{2}^2(t)}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass bei einer geeigneten Wahl von [mm]h_{1}[/mm] und
> [mm]h_{2}[/mm] die zweite Ableitung mit
>
> f''(t) = [mm]\bruch{f(t)(h'_{1}(t)+h'_{2}(t)) - f'(t)(h_{1}(t) + h_{1}(t))}{f^2(t)}[/mm]
>
> angegeben werden kann.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Leute von Matheraum,
>
> meine Kommillitonen und ich haben eine ganze Zeit an dieser
> Aufgabe herumgerechnet und sind uns nicht sicher, ob wir
> auf dem richtigen Weg sind.
> Wir haben einfach mal aus der gegebenen Gleichung von f(t)
> die erste Ableitung gebildet. Zudem haben wir das gegebene
> f'' durch umgekehrte Anwendung der Quotientenregel beim
> Integrieren aufgeleitet.
> Die beiden Terme haben wir dann gleichgesetzt.
> Dabei kam heraus, dass [mm]h_1[/mm] = [mm]g_1[/mm] und [mm]h_2[/mm] = [mm]g_2[/mm] gewählt
> werden sollte.
>
> 1. War das die richtige Taktik?
Die Taktik ist richtig.
> 2. Ist das das richtige Ergebnis?
Leider nein.
Poste daher doch Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Vielen Dank für Eure Hinweise!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Fr 04.12.2009 | | Autor: | nephamael |
Vielen Dank schonmal für die Antwort.
Also beim Ableiten von f kommen wir auf:
f' = [mm] \bruch{g_1(t) + g_2(t)}{\wurzel{g_1^2(t)+g_2^2(t)}}
[/mm]
bzw. f' = [mm] \bruch{g_1(t) + g_2(t)}{f(t)}
[/mm]
Beim Integrieren vom gegebenen f'' kommen wir auf:
f' = [mm] \bruch{h_1(t) + h_2(t)}{f(t)}
[/mm]
Das ganze gleichgesetzt ergibt [mm] g_1(t) [/mm] + [mm] g_2(t) [/mm] = [mm] h_1(t) [/mm] = [mm] h_2(t).
[/mm]
Irgendwo muss da ein Dreher drin sein, den wir partout nicht finden :(
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Hallo nephamael,
> Vielen Dank schonmal für die Antwort.
>
> Also beim Ableiten von f kommen wir auf:
> f' = [mm]\bruch{g_1(t) + g_2(t)}{\wurzel{g_1^2(t)+g_2^2(t)}}[/mm]
>
> bzw. f' = [mm]\bruch{g_1(t) + g_2(t)}{f(t)}[/mm]
>
> Beim Integrieren vom gegebenen f'' kommen wir auf:
>
> f' = [mm]\bruch{h_1(t) + h_2(t)}{f(t)}[/mm]
>
> Das ganze gleichgesetzt ergibt [mm]g_1(t)[/mm] + [mm]g_2(t)[/mm] = [mm]h_1(t)[/mm] =
> [mm]h_2(t).[/mm]
>
> Irgendwo muss da ein Dreher drin sein, den wir partout
> nicht finden :(
Denke nochmal über die Ableitung von [mm]g_1^2(t)+g_2^2(t)[/mm] nach.
Die Ableitung eines jeden Summanden
erfolgt hier mit der Kettenregel.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 04.12.2009 | | Autor: | nephamael |
Ah! Danke!
Haben völlig übersehen, dass die Ableitung von [mm] g^2 [/mm] nicht 2g ist, sondern g'*2g ...
Hat man sich erstmal verrannt, sieht man die einfachsten Dinge nicht mehr ^^
Also wäre das Ergebnis, dass man z.B.:
[mm] h_1 [/mm] = [mm] g_1'*g_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] = [mm] g_2'*g_2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Fr 04.12.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo nephamael,
> Ah! Danke!
>
> Haben völlig übersehen, dass die Ableitung von [mm]g^2[/mm] nicht
> 2g ist, sondern g'*2g ...
>
> Hat man sich erstmal verrannt, sieht man die einfachsten
> Dinge nicht mehr ^^
>
> Also wäre das Ergebnis, dass man z.B.:
>
> [mm]h_1[/mm] = [mm]g_1'*g_1[/mm] und [mm]h_2[/mm] = [mm]g_2'*g_2[/mm]
Das ist das Ergebnis. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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