HAS / Koordinatentransformatio < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist im R3 die Quadrik:
(x,y,z) [mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + (x,y,z) [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2} -\bruch{4}{3}.
[/mm]
Geben Sie das Hauptachsensystem und die Koordinatentransformation der Drehung des Koordinatensystems an. Wie lautet die Gleichung der Quadrik in den neuen Koordinaten ? |
Ich habe nun die Eigenwerte und Eigenvektoren der zu der Matrix berechnet:
[mm] \lambda1 [/mm] = 4 : [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda2 [/mm] = -2 : [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda3 [/mm] = -3 : [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Das Hauptachsensystem besteht ja aus den normierten Eigenvektoren:
=> B= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & 0 \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} &0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wie berechne ich nun die Koordinatentransformation der Drehung des Koordinatensystems?
Wäre dies dann B* (x',y',z') ?
Und wie lautet die Gleichung der Quadrik in den neuen Koordinaten ?
Ist dies (x',y',z') [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 } \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] + (x',y',z') [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2} -\bruch{4}{3}
[/mm]
= [mm] -2x^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] - [mm] 3z^{2} [/mm] +2z [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 13.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
