HESSEsche Normalenform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
tschuldigung, dass es schon so spät ist, aber ich schreib morgen Mathe und krieg grad voll die Panik...
Ich hab hier 2 Vektoren und aus denen soll man eine HESSEsche Normalenform bilden.
[mm] \vec{u} [/mm] = (2/6/0)
[mm] \vec{v} [/mm] = (-4/0/2)
Ich bin schon soweit, dass ich den Normalenvektor rausbekommen habe [mm] \vec{n} [/mm] =(-3/1/-6) und den Betrag von [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \wurzel{46}, [/mm] aber wie mache ich jetzt weiter? Ich brauch doch dieses d noch, oder??
Mfg,
Heidschnucke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 So 09.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Heidschnucke,
> tschuldigung, dass es schon so spät ist, aber ich schreib
> morgen Mathe und krieg grad voll die Panik...
Nur die Ruhe: Alles wird gut!
> Ich hab hier 2 Vektoren und aus denen soll man eine
> HESSEsche Normalenform bilden.
>
> [mm]\vec{u}[/mm] = (2/6/0)
> [mm]\vec{v}[/mm] = (-4/0/2)
>
> Ich bin schon soweit, dass ich den Normalenvektor
> rausbekommen habe [mm]\vec{n}[/mm] =(-3/1/-6) und den Betrag von
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\wurzel{46},[/mm]
Bis hier: Alles OK!
> aber wie mache ich jetzt weiter?
Na: Das weiß kein Mensch, denn:
Für eine Ebene braucht der Mensch neben zwei Richtungsvektoren auch
EINEN AUFPUNKT!
Hei, Heidschnucke: Wo bleibt der Aufpunkt!?
mfG!
Zwerglein
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Okay, ich seh grad, dass der Lehrer uns 3 Punkte gegeben hatte und die beiden Vektoren hatte er schon ausgerechnet. Die Aufgabe lautete so:
Eine Ebene sei gegeben durch die Punkte A (3/-2/1), B (5/4/1), C(-1/-2/3). Berechne ihren Abstand vom Nullpunkt.
Und da war er jetzt so schlau und hat die beiden Vektoren ausgerechnet, oder was? Und welchen Punkt muss ich denn jetzt als Aufpunkt nehmen und wie lautet dann die HNF?
Schon mal vielen Dank für den Tipp mit dem Aufpunkt!! =)
Mfg,
Heidschnucke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 11.10.2005 | | Autor: | Juju86 |
Hi,
wie bekommt man denn den Normalenvektor anhand von 3 Punkten bzw. zwei Richtungsvektoren raus??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 11.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Juju!
> wie bekommt man denn den Normalenvektor anhand von 3
> Punkten bzw. zwei Richtungsvektoren raus??
Angenommen du hast die drei Punkte [mm]A(1|2|3)[/mm], [mm]B(1|0|1)[/mm]
und [mm]C(0|1|0)[/mm].
Dann stellst du die beiden aufspannenden Vektoren auf: Ich nehme mal [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{BC}[/mm].
[mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{0 \\ -2 \\ -2}[/mm]
[mm]\overrightarrow{BC}=\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
Jetzt weißt du, dein gesuchter Vektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] soll sowohl auf [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] alsauch auf [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] senkrecht stehen, also muss gelten:
[mm]\left<\left\overrightarrow{AB}\right|\overrightarrow{n}\right>=0[/mm]
[mm]\left<\left\overrightarrow{BC}\right|\overrightarrow{n}\right>=0[/mm]
wobei [mm]\left<\ |\ \right>[/mm] das Skalarprodukt sein soll.
Ich schreibe [mm]\overrightarrow{n}=\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}[/mm]
Dann sind die oberen beiden Zeilen ausgeschrieben:
[mm]-2n_2-2n_3=0[/mm]
[mm]n_1-n_2+n_3=0[/mm]
Jetzt löst du dieses Gleichungssystem auf, dann bekommst du eine Lösung in Abhängigkeit einer Variablen raus. Für die wählst du einen Wert, setzt ihn ein und bekommst so einen möglichen Normalenvektor.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 11.10.2005 | | Autor: | Juju86 |
Also, ich weiß nicht, ob ich das voll nachvollziehen kann.
Ich habe deine Vorgaben mal weiter ausgerechnet und raus kam:
- [mm] n_{1}- n_{2}-3 [/mm] n{3}=0
Ist das wirklich richtig? Oh man, ich verzweifel noch...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Di 11.10.2005 | | Autor: | Juju86 |
Das Skalarprodukt von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist 2 und das von [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] ist 4
Was soll man damit machen? Es scheint nicht weiter genutzt zu werden...
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Hi, Juju,
der von taura vorgeschlagene Lösungsweg führt zu einem Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, aber nur 2 Gleichungen. Du musst daher eine der 3 Unbekannten beliebig (aber nicht =0) wählen, z.B. [mm] n_{2} [/mm] = 1, und dann die andern beiden ausrechnen.
(Bei unserem Beispiel käme dann noch [mm] n_{1} [/mm] = 2 und [mm] n_{3} [/mm] = -1 raus.)
Der schnellere Lösungsweg benutzt stattdessen das Kreuzprodukt (= Vektorprodukt) der Richtungsvektoren:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ -2} \times \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 09.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heidschnucke!
Wenn Du Dir die beiden Richtungsvektoren [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] mal etwas genauer ansiehst, wirst Du feststellen, dass diese folgendermaßen gebildet wurden:
[mm] $\vec{u} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vec{b}-\vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $\vec{v} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] \ = \ [mm] \vec{c}-\vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 2}$
[/mm]
Daher ist nun mit dem Aufpunkt $A_$ weiterzumachen.
Die HNF lautet ja: [mm] $\vec{n_0}*\vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{n_0}*\vec{a} [/mm] \ = \ d$
Kommst Du nun etwas weiter? Poste doch mal Deine weiteren Schritte ...
Gruß
Loddar
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Also:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{46}} [/mm] (-3/1/-6) + und dann??
Muss ich jetzt A mit [mm] \bruch{1}{ \wurzel{46}} [/mm] multiplizieren? Ich versteh grad gar nix mehr... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Heidschnucke!
Genau!
Die Hessesche Normalenform lautet jetzt:
$0 = \frac{1}{\sqrt{46}} \pmat{-3 \\ 1 \\ -6} \* \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} - \frac{1}{\sqrt{46}} \pmat{-3 \\ 1 \\ -6} \* \pmat{3 \\ -2 \\ 1}$.
Also: Alle Punkte $(x_1/x_2/x_3)$, deren Ortsvektoren diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene.
Für den Abstand $d$ eines Punktes $(x_1/x_2/x_3)$ zu dieser Ebene gilt:
$d = \left\vert \frac{1}{\sqrt{46}} \pmat{-3 \\ 1 \\ -6} \* \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} - \frac{1}{\sqrt{46}} \pmat{-3 \\ 1 \\ -6} \* \pmat{3 \\ -2 \\ 1}\right \vert$.
Naja, und jetzt brauchst du ja nur noch $(x_1/x_2/x_3)=(0/0/0)$ einzusetzen...
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan!
Ganz herzlichen Dank für deine Hilfe!! Wie wär's, wenn du die Klausur morgen schreibst?! =)
Mfg,
Sarah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sarah!
> Ganz herzlichen Dank für deine Hilfe!!
Gern geschehen! 
> Wie wär's, wenn du
> die Klausur morgen schreibst?! =)
Grundsätzlich würde ich dir natürlich gerne helfen. Ich weiß aber nicht, ob das so gut für dich wäre. Mir liegt diese Art von "Mathematik" nämlich überhaupt nicht...
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan,
vielleicht wär's doch besser gewesen, wenn du die Klausur geschrieben hättest, ich konnt's nämlich eher schlecht als recht... =( Aber die Hilfe von gestern hat voll was gebracht, ich müsste nur beim nächsten Mal früher anfangen... =)
Nochmal Danke,
Sarah
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 11.10.2005 | | Autor: | Juju86 |
Was ist ein Aufpunkt A? Ich habe auch so eine Aufgabe bekommen, aber von einem Aufpunkt A habe ich noch nie was gehört.
Lg,Juju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 11.10.2005 | | Autor: | statler |
> Was ist ein Aufpunkt A? Ich habe auch so eine Aufgabe
> bekommen, aber von einem Aufpunkt A habe ich noch nie was
> gehört.
>
> Lg,Juju
Hallo Julie,
damit ist in diesem Zusammenhang meistens der "Stützpunkt", also der Endpunkt des Stützvektors, gemeint, aber so richtig normiert ist der Ausdruck wohl nicht.
Gruß aus HH_Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Di 11.10.2005 | | Autor: | Herby |
Ich dachte immer Startpunkt
Naja, vertan
Gruß
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Mi 12.10.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Herby,...
> Ich dachte immer Startpunkt
>
Nach meiner Philosophie ist er dann der Startpunkt der Spannvektoren, aber wie schon gesagt, der Ausdruck ist mehr umgangssprachlich und gehört nicht zum elaborierten Code der Mathematiker.
> Naja, vertan
Quatsch! Wir können uns wie folgt einigen: Ein Aufpunkt ist ein irgendwie ausgezeichneter Punkt. Hm?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Dieter,
stand das mit dem Stützvektor schon immer da? Hab' ich überlesen, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
Wir reden vom gleichen Punkt!
Der Anfang vom Ende
Gruß
Herby
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