Häfungspunkte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Leider habe ich noch eine Aufgabe ohne jegliche Idee:
Sei x eine vorgegebene reelle Zahl. Die Folge [mm] (a_n(x))_{n\in\IN} [/mm] sei definiert durch [mm] a_n(x):=nx-entier(nx). [/mm] Man beweise: Ist x rational, so hat die Folge nur endlich viele Häufungspunkte; ist x irrational, so ist jede Zahl a mit [mm] 0\le a\le [/mm] 1 Häufungspunkt der Folge.
Dabei ist entier x oder [x] die eindeutig bestimmte ganze Zahl n mit [mm] n\le [/mm] x<n+1.
Die Begriffe sind mir eigentlich klar, aber ich weiß halt nicht, wie ich hier anfangen soll... Was kann ich denn über entier x aussagen, wenn x rational oder irrational ist?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Do 28.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Eine Anmerkung vorneweg: die Funktion gibt genau den gebrochenen Anteil von [mm] $n\cdot [/mm] x$ zurück, anschaulich also das, was in der Dezimalschreibweise hinter dem Komma folgt.
Nehmen wir an, $x$ sei rational, d.h. [mm] $x=\frac{p}{q}$ [/mm] für ganzzahlige [mm] $p,q\in\IZ, [/mm] (p,q)=1$. Für beliebiges $n$ mit [mm] $n=k\cdot [/mm] q+r, [mm] r\in\{0,1,...,q-1\}$ [/mm] ist dann [mm] $a_n( x)=k+\frac{r}{q}-k=\frac{r}{q}$. [/mm] Die Folge [mm] $(a_n(x))_{n\in\IN}$ [/mm] nimmt folglich nur Werte aus [mm] $M:=\left\{0,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}\right\}$ [/mm] an. Für beliebiges [mm] $i\in\{0,1,2,...,q-1\}$ [/mm] ist nun ferner [mm] $a_{k\cdot q+i}(x)=\frac{i}{q}$, [/mm] d.h. die Elemente aus $M$ sind tatsächlich Häufungspunkte von [mm] $(a_n(x))_{n\in \IN}$. [/mm] Weitere Häufungspunkte kann es nicht geben; sei nämlich [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit [mm] $x\notin [/mm] M$, so existiert ein [mm] $\epsilon\in\IR^{+}$ [/mm] mit [mm] $U_{\epsilon}(x)\cap M=\emptyset$; [/mm] also... ? Schaffst du es, den Beweis selbst zu einem Ende zu führen?
Nehmen wir nun an, $x$ sei irrational. Alle Folgenglieder aus [mm] $(a_n(x))_{n\in\IN}$ [/mm] sind einander verschieden, da $x$ sonst rational wäre. Ferner ist die Folge [mm] $(a_n(x))_{n\in \IN}$ [/mm] beschränkt, es existiert folglich eine konvergente Teilfolge [mm] $(a'_n(x))_{n\in\IN}$, [/mm] die gegen den Grenzwert [mm] $a'\in [/mm] (0,1)$ konvergiere. Sei nun [mm] $c\in(0,1)$ [/mm] beliebig gewählt. Es ist zu zeigen, dass $c$ Häufungspunkt von [mm] $(a_n(x))_{n\in\IN}$ [/mm] ist. Dazu ist es hinreichend zu zeigen, dass für alle [mm] $\epsilon\in\IR^{+}$ [/mm] wenigstens ein Folgenglied in [mm] $U_{\epsilon}(c)$ [/mm] liegt. Sei also [mm] $\epsilon\in\IR^{+}$ [/mm] beliebig gewählt. Da [mm] $(a'_n(x))_{n\in \IN}$ [/mm] konvergiert, ist [mm] $(a'_n(x))_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge, folglich existieren zwei Indizes [mm] $n_0,n_1\in\IN$ [/mm] so, dass [mm] $\vert a_{n_0}(x)-a_{n_1}(x)\vert [/mm] = [mm] a_{\vert n_0-n_1\vert }(x)\in (0,\epsilon)$ [/mm] liegt. Multiplikation mit einem geeigneten Vielfachen [mm] $\lambda\in\IN$ [/mm] führt zu [mm] $a_{\lambda\vert n_0-n_1\vert}(x)\in U_\epsilon [/mm] (c)$. Kannst du dir selbst klar machen, weshalb es ein solches Vielfaches geben muss? Warum hätte das auch mit [mm] $a_{\vert n_0-n_1\vert}(x)\in U_{2\epsilon} [/mm] (c)$ geklappt?
Ich hoffe ich habe mich nicht verhaspelt.
Liebe Grüße,
Hanno
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