Häufungspunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge [mm] (a_{n})_{n Element \IN} [/mm] (mit Beweis), wobei:
[mm] a_{n}:= (-1)^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für alle n Element [mm] \IN [/mm] |
hallo :)
das ist die erste aufgabe zu häufungspunkten und ich weiß nich wie ich loslegen soll..
als definition hab ich:
a Element [mm] \IR [/mm] heißt häufungspunkt der Folge [mm] (a_{n})_{n element \IN}, [/mm] so ex. eine Teilfolge [mm] (a_{nk}) [/mm] von [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{nk}= [/mm] a .
heißt das jetzt dass ich hier mit Teilfolgen arbeiten muss?
arrrrrrrrrrrrrrr ich bitte um hiiiiilfe :)
danke schonmal an alle die sich mit dieser frage beschäftigen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 So 10.01.2010 | | Autor: | dawu |
Hi suxul!
Deine Definition eines Häufungspunktes ist etwas "seltsam"... So wie du das geschrieben hast, ist das keine Definition sondern ein Sachverhalt, der daraus folgt, dass $a$ ein Häufungspunkt ist! 
Was gilt ist jedoch, dass $a$ ein Häufungspunkt deiner Folge ist, sobald du eine Teilfolge deiner Folge gefunden hast, welche gegen $a$ konvergiert.
Ich würde bei deiner Aufgabe zuerst wie folgt vorgehen: Schreibe dir mal ein paar Folgenglieder auf und schaue, ob die Folgenglieder in einem gewissen "Abstand", z. B. jeder zweite, gegen einen Wert konvergieren. Wenn das der Fall ist, hast du ja eine Teilfolge gefunden, welche gegen einen Wert konvergiert und dieser wäre dann ein Häufungspunkt.
Noch was: Es kann natürlich durchaus mehrere Häufungspunkte geben!
Versuch das mal, dann helfe ich dir gerne weiter.
Viel Erfolg,
dawu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
ah ok :)
also wegen n im exponent der negativen zahl -1 hab ich immer abwechselnd -1, +1. heißt doch alternierende reihe glaub ich :S
die geraden n lassen die folge gegen 1 konvergieren und die ungeraden n lassen die folge gegen -1 konvergieren(?).
heißt das jetzt dass ich 2 häufungspunkte habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 10.01.2010 | | Autor: | dawu |
Sehr schön, das klingt schon mal sehr gut! 
Jetzt musst du nur noch versuchen, das ganze mathematisch zu formulieren! Du kannst dir ja eine Teilfolge für $n = 2k$ und eine für $n = 2k+1$ -- also gerade und ungerade Folgenglieder definieren und bei denen dann jeweils das [mm] $(-1)^n$ [/mm] der ursprünglichen Folge korrekt anpassen, so wie du es oben beschrieben hast.
Bin gespannt auf dein Ergebnis!
Viel Erfolg,
dawu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
Fall 1:
[mm] a_{2k}= (-1)^{2k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2k}
[/mm]
da exponent bei -1 stehts gerade kann auch geschrieben werden
[mm] (1)^{2k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2k}
[/mm]
ok und jetz bin ich mir nicht sicher ob was kompliziertes mit epsilon definition des beweis darstellt oder ob ich nicht einfach sagen kann:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(1)^{2k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2k}=1+0=1
[/mm]
und dann eben für den 2. fall analog nur mit -1 da ungerade:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(-1)^{2k+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2k+1}=(-1)+0=-1
[/mm]
(dass ein bruch bei dem das k im nenner steht gegen 0 geht wurde im skript bewiesen, dass 1^gerader exponent =1 und 1^ungerader exponent=-1 siehe ebenfalls skript)
aber ist das schon der beweis?!
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Hallo suxul,
> Fall 1:
> [mm]a_{2k}= (-1)^{2k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2k}[/mm]
>
> da exponent bei -1 stehts gerade kann auch geschrieben
> werden
> [mm](1)^{2k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2k}[/mm]
>
> ok und jetz bin ich mir nicht sicher ob was kompliziertes
> mit epsilon definition des beweis darstellt oder ob ich
> nicht einfach sagen kann:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1)^{2k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2k}=1+0=1[/mm]
Es ist für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] doch [mm] $1^{2k}=1$, [/mm] schreibe also vor dem Grenzübergang:
[mm] $(-1)^{2k}+\frac{1}{2k}=1+\frac{1}{2k}\longrightarrow [/mm] 1+0=1$ für [mm] $k\to\infty$ [/mm] (oder mit Limesschreibweise)
>
> und dann eben für den 2. fall analog nur mit -1 da
> ungerade:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(-1)^{2k+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2k+1}=(-1)+0=-1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (dass ein bruch bei dem das k im nenner steht gegen 0 geht
> wurde im skript bewiesen, dass 1^gerader exponent =1 und
> 1^ungerader exponent=-1 siehe ebenfalls skript)
>
> aber ist das schon der beweis?!
Ja, das war es schon
Warum kann es keine weiteren HPe geben?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
weitere Häufungspunkte kann es nicht geben da wir ja schon alle indizes n element [mm] \IN [/mm] verbraten haben. weitere konvergente teilfolgen müssten sich mit den bereits vorhandenen überscheiden und hätten den gleichen grenzwert. ja?
aber du hast mich auch eine interessante frage gebracht:
nach bolzano weierstraß gibt es ja sogar einen größten und einen kleinsten häufungspunkt.
könnte man die 2 gefundenen häufungspunkte nicht als eben diese sehen und irgendwie derart formoliert hinschreiben:
[mm] S_{k}= sup(a_{n}/??)
[/mm]
[mm] s_{k}= inf(a_{n}/??)
[/mm]
oder ist das jetzt ne andre baustelle :)
danke danke danke schonmal :)
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Hallo,
> weitere Häufungspunkte kann es nicht geben da wir ja schon
> alle indizes n element [mm]\IN[/mm] verbraten haben. weitere
> konvergente teilfolgen müssten sich mit den bereits
> vorhandenen überscheiden und hätten den gleichen
> grenzwert. ja?
Genau, bzw. eben keinen (Wenn man jeweils aus der einen und aus der anderen Werte nimmt).
> aber du hast mich auch eine interessante frage gebracht:
> nach bolzano weierstraß gibt es ja sogar einen größten
> und einen kleinsten häufungspunkt.
> könnte man die 2 gefundenen häufungspunkte nicht als
> eben diese sehen und irgendwie derart formoliert
> hinschreiben:
> [mm]S_{k}= sup(a_{n}/??)[/mm]
> [mm]s_{k}= inf(a_{n}/??)[/mm]
> oder ist das
> jetzt ne andre baustelle :)
Nein, das passt hier dazu Es ist:
1 = [mm] \limsup_{n\to\infty}a_{n}
[/mm]
der größte Häufungspunkt von [mm] (a_{n}) [/mm] und
-1 = [mm] \liminf_{n\to\infty}a_{n}
[/mm]
der kleinste Häufungspunkt von [mm] (a_{n}).
[/mm]
Grüße,
Stefan
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