Häufungspunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n})_{n element N} [/mm] reelle Folge. Zeigen Sie: [mm] x_{0} [/mm] element R ist genau dann Häufungspunkt von [mm] (x_{n})_{n element N},
[/mm]
wenn für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \vmat{x_{n}-x_{0}}< \varepsilon [/mm] für unendlich viele n element N. |
Also so wie ich das verstehe ist das hier der algemeine beweis, der zeigen soll, dass [mm] x_{0} [/mm] häufungspunkt ist, wenn es für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] unendlich viele Folgeglieder gibt, die höchstens den Abstand [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] x_{n} [/mm] haben.
Was es bedeuten soll ist mir klar. Die Art auf die ich es beweisen könnte allerdings nicht^^ kann mir wieder wer nen stubser geben? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 So 10.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Die Frage ist, wie habt ihr Häufungspunkt denn definiert?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
also als erstes haben wir geschrieben:
a ist häufungspunkt der folge [mm] a_{n} [/mm] -> ex Teilfolge [mm] (a_{nk}) [/mm] von [mm] a_{n} [/mm] die gegen a konvergiert.
dann: Bolzano weierstraß:
jede beschrünkte reelle folge besitzt mind. einen häufungspunkt. sie besitzt sogar einen kleinsten und einen größten häufungspunkt.
und dann kommt schon das cauchy kriterium.
hilft das was :S
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Hallo suxul,
> Sei [mm](x_{n})_{n element N}[/mm] reelle Folge. Zeigen Sie: [mm]x_{0}[/mm]
> element R ist genau dann Häufungspunkt von [mm](x_{n})_{n element N},[/mm]
>
> wenn für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 : [mm]\vmat{x_{n}-x_{0}}< \varepsilon[/mm]
> für unendlich viele n element N.
> Also so wie ich das verstehe ist das hier der algemeine
> beweis, der zeigen soll, dass [mm]x_{0}[/mm] häufungspunkt ist,
> wenn es für jedes noch so kleine [mm]\varepsilon[/mm] unendlich
> viele Folgeglieder gibt, die höchstens den Abstand
> [mm]\varepsilon[/mm] von [mm]x_{n}[/mm] haben.
>
> Was es bedeuten soll ist mir klar. Die Art auf die ich es
> beweisen könnte allerdings nicht^^ kann mir wieder wer nen
> stubser geben? :)
Um dir dabei zu helfen, müsste zumindest ich erst wissen, wie ihr Häufungspunkte definiert habt. Denn das, was du da hingeschrieben hast, ist die gängige Definition eines Häufungspunktes!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 10.01.2010 | | Autor: | suxul |
also es ging mit teilfoglgen los. dann kommt der satz von bolzano weierstraß:
jedebeschränkte reelle folge besitzt eine konvergente teilfolge.
->beweis
dann:
definition
a ist häufungspunkt der folge [mm] a_{n} [/mm] -> ex Teilfolge [mm] a_{nk} [/mm] von [mm] a_{n} [/mm] die gegen a konvergiert.
dann: Bolzano weierstraß:
jede beschränkte reelle folge besitzt mind. einen häufungspunkt. sie besitzt sogar einen kleinsten und einen größten häufungspunkt.
-> beweis
und dann kommt schon das cauchy kriterium.
hilft das was?? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 So 10.01.2010 | | Autor: | nooschi |
jo, das hilft schon weiter...
also zeigen musst du:
[mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei eine reelle Folge, dann gilt:
[mm] x_{0}\in\IR [/mm] ist HP von [mm] x_{n} \gdw |x_{n}-x_{0}|<\epsilon [/mm] für unendlich viele n's
[mm] \Rightarrow-Richtung
[/mm]
[mm] x_{0}\in\IR [/mm] ist HP von [mm] x_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert eine Teilfolge, für die gilt [mm] x_{n_{k}} \to x_{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \epsilon>0 \exists n_{\epsilon}\in\IN: |x_{n_{k}}-x_{0}|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n_{k}>n_{\epsilon}
[/mm]
bzw. [mm] \forall \epsilon>0 [/mm] und [mm] \forall n\in\IN [/mm] gibt es ein [mm] n_{k}>n, [/mm] sodass [mm] |x_{n_{k}}-x_{0}|<\epsilon
[/mm]
da nun für jedes beliebige n ein solches [mm] n_{k} [/mm] existiert, kann die Menge aller [mm] n_{k}'s [/mm] nicht endlich sein
[mm] \Leftarrow-Richtung
[/mm]
[mm] |x_{n}-x_{0}|<\epsilon [/mm] für unendlich viele n's. Wähle [mm] \epsilon=\bruch{1}{k}, k\in\IN
[/mm]
man muss jetzt versuchen eine Teilfolge zu konstruieren, welche nach [mm] x_{0} [/mm] konvergiert.
Rekursive Konstruktion der Teilfolge:
sei [mm] n_{1}, [/mm] ..., [mm] n_{k} [/mm] bereits gewählt, wähle [mm] n_{k+1}>n_{k} [/mm] so, dass [mm] |x_{n_{k+1}}-x_{0}|<\bruch{1}{k+1} [/mm] (so ein Element gibt es in [mm] x_{n} [/mm] nach Voraussetzung von oben)
offensichtlich konvergiert die so konstruierte TF für [mm] k\to\infty [/mm] gegen [mm] x_{0} [/mm] und ich hoffe mal, dass das mit eurer Definition übereinstimmt, dass dann [mm] x_{0} [/mm] ein HP ist. (du hast ja nur geschrieben: "a ist häufungspunkt der folge [mm] a_{n} [/mm] -> ex Teilfolge [mm] (a_{nk}) [/mm] von [mm] a_{n} [/mm] die gegen a konvergiert." und mein "Beweis" is fürn Müll, wenn dein Pfeil wirklich nur in die eine Richtung zeigt)
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