Häufungspunkt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 12.01.2011 | | Autor: | kalor |
Guten Abend,
Ich habe Mühe mit dem Begriff des Häufungspunktes, resp. den Folgerungen:
Bei uns wurde der Häufungspunkt wie folgt definiert:
Sei $\ X $ topologisch und $\ Y $ ein Teilmenge von $\ X $. $\ a [mm] \in [/mm] Y $ heisst Häufungspunkt von $\ Y $, falls:
für jede Umgebung [mm] U [/mm] von a gilt: [mm] U \cap (Y \backslash \{a\}) \not= \emptyset [/mm].
Nun zu meiner Frage: Wieso kann ich dann sagen, dass in diesem Schnitt unendlich viele Punkte aus $\ Y $ enthalten sind?
Ich danke euch für die Erklärung
schönen Abend
kalor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend,
>
> Ich habe Mühe mit dem Begriff des Häufungspunktes, resp.
> den Folgerungen:
> Bei uns wurde der Häufungspunkt wie folgt definiert:
>
> Sei [mm]\ X[/mm] topologisch und [mm]\ Y[/mm] ein Teilmenge von [mm]\ X [/mm]. [mm]\ a \in Y[/mm]
ich denke, da gehört $a [mm] \in [/mm] X$ hin. Oder? Sonst wären nach Eurer Definition ja Häufungspunkte stets Elemente der betrachteten Menge. In metrischen Räumen wäre also insbesondere der Rand einer offenen Kugel keine Häufungspunktmenge dieser offenen Kugel? Das macht für mich keinen Sinn. Daher gehe ich im folgenden davon aus, dass da $a [mm] \in [/mm] X$ stehen soll!
> heisst Häufungspunkt von [mm]\ Y [/mm], falls:
>
> für jede Umgebung [mm]U[/mm] von a gilt: [mm]U \cap (Y \backslash \{a\}) \not= \emptyset [/mm].
>
> Nun zu meiner Frage: Wieso kann ich dann sagen, dass in
> diesem Schnitt unendlich viele Punkte aus [mm]\ Y[/mm] enthalten
> sind?
Ich befürchte, wenn Du keine weiteren Voraussetzungen an $\ X$ hast, gar nicht. Betrachte etwa den topologischen Raum $\ [mm] X=\{x,y\}$ [/mm] (mit $x [mm] \not=y$) [/mm] mit der Topologie [mm] $T:=\{\emptyset, X\}\,.$
[/mm]
Ich behaupte nun etwa:
[mm] $x\,$ [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] $Y:=\{y\}:$
[/mm]
Ist nämlich $U [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Umgebung von [mm] $x\,,$ [/mm] so existiert nach Voraussetzung eine Menge $O [mm] \in [/mm] T$ mit $x [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq U\,.$ [/mm] Dann muss aber, nach Definition von [mm] $T\,,$ [/mm] schon [mm] $O=\{x,y\}$ [/mm] sein. Und damit ist [mm] $U=X\,$ [/mm] die einzig mögliche Umgebung von [mm] $\{x\}$ [/mm] (denn es ist ja, wie eben gesehen, [mm] $X=\{x,y\}=O \subseteq [/mm] U [mm] \subseteq \{x,y\}=X$).
[/mm]
Aber $U [mm] \cap [/mm] Y [mm] \setminus \{x\}=X \cap \{y\}$ [/mm] ist nicht leer. Also ist [mm] $x\,$ [/mm] per Definitionem HP von [mm] $\{y\}=Y\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 12.01.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo Marcel,
Danke für deine schnelle Antwort! Man kann zusätzlich annehmen, dass $\ X $ metrisch ist. Stimmt dann die Aussage, wenn ja wieso?
Grüsse
kalor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> Danke für deine schnelle Antwort! Man kann zusätzlich
> annehmen, dass [mm]\ X[/mm] metrisch ist. Stimmt dann die Aussage,
> wenn ja wieso?
überlegen wir es uns (man kann es - wenn ich mich recht erinnere - auch ein wenig abstrakter auf topologischem Wege begründen, aber da habe ich gerade die Grundlagen nicht ganz parat; es gibt eine topologische Eigenschaft für metrische Räume mit der von der Metrik induzierten Topologie, die hier hilft... das muss aber jmd. anderes ergänzen):
Sei [mm] $(X,d)\,$ [/mm] irgendein metrischer Raum und [mm] $T:=\{O \subseteq X: O\text{ offen bzgl. der Metrix d}\}$ [/mm] die von der Metrik induzierte Topologie; sinnvollerweise o.E. $X [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
Sei $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ und sei $a [mm] \in [/mm] X$ Häufungspunkt von [mm] $Y\,.$ [/mm] Ist $U [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Umgebung von [mm] $a\,,$ [/mm] so gibt es eine Menge $O [mm] \in [/mm] T$ mit $a [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq U\,.$ [/mm] Wegen der Offenheit von [mm] $O\,$ [/mm] bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
$$a [mm] \in B_\epsilon(a) \subseteq [/mm] O [mm] \subseteq U\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $B_\epsilon(a):=\{z \in X: d(a,z) < \epsilon\}$ [/mm] die (in [mm] $X\,$ [/mm] enthaltende) offene [mm] $\epsilon$-Kugel [/mm] um [mm] $a\,$ [/mm] ist. O.E. können wir [mm] $\epsilon=1/n_1$ [/mm] mit einem genügend großen [mm] $n_1 \in \IN\,$ [/mm] annehmen. (Wieso?)
Die Menge [mm] $B_{1/{n_1}}(a) \cap (Y\setminus \{a\})$ [/mm] ist nicht leer, denn [mm] $B_{1/{n_1}}(a)=B_\epsilon(a)$ [/mm] ist (selbst offen und) Umgebung von [mm] $a\,.$ [/mm] Wir wählen nun ein [mm] $x_1$ [/mm] aus dieser Menge [mm] $B_{1/{n_1}}(a) \cap (Y\setminus \{a\})$, [/mm] und weil dieses [mm] $\not=a$ [/mm] sein muss, ist [mm] $d(x_1,a) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wir wählen ein genügend großes [mm] $n_2 \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $1/n_2 [/mm] < [mm] d(x_1,a)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $B_{1/{n_2}}(a)$ [/mm] (sowohl offen als auch) Umgebung von [mm] $a\,,$ [/mm] also können wir ein [mm] $x_2$ [/mm] aus [mm] $B_{1/{n_2}}(a) \cap [/mm] (Y [mm] \setminus \{a\})$ [/mm] wählen (insbesondere muss dann [mm] $x_2 \not=a$ [/mm] gelten)...
etc. pp...
Damit erhält man eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN_{\ge 1}}$ [/mm] so dass alle [mm] $x_n \in [/mm] (Y [mm] \setminus \{a\})$ [/mm] sind und so, dass [mm] $(d(a,x_n))_n$ [/mm] eine streng monoton fallende (Null-)Folge ist. (Insbesondere gilt [mm] $d(a,x_n) [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,.$) [/mm]
(Beachte: Nach Konstruktion ist [mm] $1/n_1 [/mm] > [mm] 1/n_2 [/mm] > [mm] 1/n_3 [/mm] > ...$ und alle [mm] $1/n_k$ [/mm] sind $> [mm] 0\,.$)
[/mm]
Also muss es insbesondere eine Injektion [mm] $\IN \to [/mm] Y$ geben. Folglich hat [mm] $Y\,$ [/mm] mindestens abzählbar unendlich viele Elemente.
Also:
Wenn wir uns darauf einigen, dass wir einen metrischen Raum als topologischen Raum betrachten, wobei die Topologie die von der Metrik induzierte Topologie ist, dann ist die Behauptung korrekt. Mehr haben wir bisher nicht gezeigt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 12.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Guten Abend,
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> Ich habe Mühe mit dem Begriff des Häufungspunktes, resp.
> den Folgerungen:
> Bei uns wurde der Häufungspunkt wie folgt definiert:
>
> Sei [mm]\ X[/mm] topologisch und [mm]\ Y[/mm] ein Teilmenge von [mm]\ X [/mm]. [mm]\ a \in Y[/mm]
> heisst Häufungspunkt von [mm]\ Y [/mm], falls:
>
> für jede Umgebung [mm]U[/mm] von a gilt: [mm]U \cap (Y \backslash \{a\}) \not= \emptyset [/mm].
>
> Nun zu meiner Frage: Wieso kann ich dann sagen, dass in
> diesem Schnitt unendlich viele Punkte aus [mm]\ Y[/mm] enthalten
> sind?
Du kannst sagen, jede (noch so "feine, kleine") Umgebung von a enthält einen von a verschiedenen Punkt aus Y. Oder jede "punktierte" (noch so "feine, kleine") Umgebung [mm] U\backslash\{a\} [/mm] ragt in Y hinein. 
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Guten Abend,
> >
> > Ich habe Mühe mit dem Begriff des Häufungspunktes, resp.
> > den Folgerungen:
> > Bei uns wurde der Häufungspunkt wie folgt definiert:
> >
> > Sei [mm]\ X[/mm] topologisch und [mm]\ Y[/mm] ein Teilmenge von [mm]\ X [/mm]. [mm]\ a \in Y[/mm]
> > heisst Häufungspunkt von [mm]\ Y [/mm], falls:
> >
> > für jede Umgebung [mm]U[/mm] von a gilt: [mm]U \cap (Y \backslash \{a\}) \not= \emptyset [/mm].
>
> >
> > Nun zu meiner Frage: Wieso kann ich dann sagen, dass in
> > diesem Schnitt unendlich viele Punkte aus [mm]\ Y[/mm] enthalten
> > sind?
>
> Du kannst sagen, jede (noch so "feine, kleine") Umgebung
> von a enthält einen von a verschiedenen Punkt aus Y. Oder
> jede "punktierte" (noch so "feine, kleine") Umgebung
> [mm]U\backslash\{a\}[/mm] ragt in Y hinein.
das kann man so nur sagen und benutzen, wenn es denn überhaupt "kleiner werdende" Umgebungen gibt. Siehe etwa mein Gegenbeispiel. I.A. ist die Aussage falsch!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> > > Guten Abend,
> > >
> > > Ich habe Mühe mit dem Begriff des Häufungspunktes, resp.
> > > den Folgerungen:
> > > Bei uns wurde der Häufungspunkt wie folgt
> definiert:
> > >
> > > Sei [mm]\ X[/mm] topologisch und [mm]\ Y[/mm] ein Teilmenge von [mm]\ X [/mm]. [mm]\ a \in Y[/mm]
> > > heisst Häufungspunkt von [mm]\ Y [/mm], falls:
> > >
> > > für jede Umgebung [mm]U[/mm] von a gilt: [mm]U \cap (Y \backslash \{a\}) \not= \emptyset [/mm].
>
> >
> > >
> > > Nun zu meiner Frage: Wieso kann ich dann sagen, dass in
> > > diesem Schnitt unendlich viele Punkte aus [mm]\ Y[/mm] enthalten
> > > sind?
> >
> > Du kannst sagen, jede (noch so "feine, kleine") Umgebung
> > von a enthält einen von a verschiedenen Punkt aus Y. Oder
> > jede "punktierte" (noch so "feine, kleine") Umgebung
> > [mm]U\backslash\{a\}[/mm] ragt in Y hinein.
>
> das kann man so nur sagen und benutzen, wenn es denn
> überhaupt "kleiner werdende" Umgebungen gibt. Siehe etwa
> mein Gegenbeispiel. I.A. ist die Aussage falsch!
Was ist denn falsch? Wenn es nur eine Umgebung gibt, dann trifft "jede" und "noch so feine" immer noch zu. Und wenn sie die Gesamtmenge ist, dan ragt sie immer noch in jede Teilmenge hinein, oder?
Und es ist [mm] (A\backslash\{a\})\cap B=A\cap(B\backslash\{a\}), [/mm] oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Guten Abend,
> > > >
> > > > Ich habe Mühe mit dem Begriff des Häufungspunktes, resp.
> > > > den Folgerungen:
> > > > Bei uns wurde der Häufungspunkt wie folgt
> > definiert:
> > > >
> > > > Sei [mm]\ X[/mm] topologisch und [mm]\ Y[/mm] ein Teilmenge von [mm]\ X [/mm]. [mm]\ a \in Y[/mm]
> > > > heisst Häufungspunkt von [mm]\ Y [/mm], falls:
> > > >
> > > > für jede Umgebung [mm]U[/mm] von a gilt: [mm]U \cap (Y \backslash \{a\}) \not= \emptyset [/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Nun zu meiner Frage: Wieso kann ich dann sagen, dass in
> > > > diesem Schnitt unendlich viele Punkte aus [mm]\ Y[/mm] enthalten
> > > > sind?
> > >
> > > Du kannst sagen, jede (noch so "feine, kleine") Umgebung
> > > von a enthält einen von a verschiedenen Punkt aus Y. Oder
> > > jede "punktierte" (noch so "feine, kleine") Umgebung
> > > [mm]U\backslash\{a\}[/mm] ragt in Y hinein.
> >
> > das kann man so nur sagen und benutzen, wenn es denn
> > überhaupt "kleiner werdende" Umgebungen gibt. Siehe etwa
> > mein Gegenbeispiel. I.A. ist die Aussage falsch!
>
> Was ist denn falsch? Wenn es nur eine Umgebung gibt, dann
> trifft "jede" und "noch so feine" immer noch zu. Und wenn
> sie die Gesamtmenge ist, dan ragt sie immer noch in jede
> Teilmenge hinein, oder?
daran ist nichts wirklich falsch, aber Du kannst so nur dann die Existenz von unendlich vielen Elementen folgern, wenn Du (bzgl. des Häufungspunktes) auch "unendlich viele immer kleiner werdende Umgebungen" überhaupt hast. Schau' Dir mal mein Beispiel mit [mm] $X=\{x,y\}\,,$ [/mm] wobei $x [mm] \not=y\,,$ [/mm] der zugehörigen (gröbsten) Topologie [mm] $T=\{X,\emptyset\}$ [/mm] und [mm] $Y:=\{y\} \subseteq [/mm] X$ an. [mm] $x\,$ [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] $Y\,,$ [/mm] denn, wie oben begründet: Es gibt genau eine Umgebung $U [mm] \subseteq [/mm] X$ von [mm] $x\,,$ [/mm] nämlich [mm] $U=X\,.$ [/mm] Und natürlich ist dann
$$U [mm] \cap [/mm] (Y [mm] \setminus \{x\})=X \cap (\{y\}\setminus\{x\})=\{x,y\} \cap \{y\}=\{y\} \not=\emptyset\,.$$
[/mm]
Per Definitionem (im topologischen Sinne) ist also [mm] $x\,$ [/mm] Häufungspunkt von [mm] $Y\,,$ [/mm] aber [mm] $Y=\{y\}$ [/mm] hat genau ein Element (und nicht unendlich viele).
Gruß,
Marcel
> Und es ist [mm](A\backslash\{a\})\cap B=A\cap(B\backslash\{a\}),[/mm]
> oder?
Naja:
$$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus \{a\}) \cap [/mm] B$$
[mm] $$\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ und }x \not=a \text{ und } [/mm] x [mm] \in [/mm] B$$
[mm] $$\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ und } [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \text{ und }x \not=a$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \setminus \{a\})\,,$$
[/mm]
und man könnte auch weiter schreiben:
[mm] $$\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \setminus \{a\}\,.$$
[/mm]
Das ist alles (ziemlich) banal...
Also: Ja, die Gleichheit stimmt.
P.P.S.:
Ich bin natürlich davon ausgegangen, dass mit dem, was Du da sagen wolltest, Du einen Hinweis geben wolltest, wie man hier zeigen kann, dass [mm] $Y\,,$ [/mm] wenn diese Menge einen HP hat, dann auch unendlich viele Elemente hat. (Was aber gar nicht geht.)
Wenn Du dort, entgegem dem Zusammenhang, an welcher Stelle Du das erwähnst, einfach nur mitteilen wolltest, dass man das so sagen kann: Ja, meinetwegen. Das geht.
Aber die Behauptung läßt sich damit nicht beweisen (weil sie i.a. gar nicht stimmt - jedenfalls nicht in dieser Formulierung. Mit Zusatzvoraussetzungen stimmt sie schon...).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Ich bin natürlich davon ausgegangen, dass mit dem, was Du
> da sagen wolltest, Du einen Hinweis geben wolltest, wie man
> hier zeigen kann, dass [mm]Y\,,[/mm] wenn diese Menge einen HP hat,
> dann auch unendlich viele Elemente hat. (Was aber gar nicht
> geht.)
>
> Wenn Du dort, entgegem dem Zusammenhang, an welcher Stelle
> Du das erwähnst, einfach nur mitteilen wolltest, dass man
> das so sagen kann: Ja, meinetwegen. Das geht.
>
War wohl zu knapp Wollt nur sagen, dass man es allen falls noch anders formulieren kann, aber mehr folgt daraus nicht.
Sorry, für die Verwirrung.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich bin natürlich davon ausgegangen, dass mit dem, was Du
> > da sagen wolltest, Du einen Hinweis geben wolltest, wie man
> > hier zeigen kann, dass [mm]Y\,,[/mm] wenn diese Menge einen HP hat,
> > dann auch unendlich viele Elemente hat. (Was aber gar nicht
> > geht.)
> >
> > Wenn Du dort, entgegem dem Zusammenhang, an welcher Stelle
> > Du das erwähnst, einfach nur mitteilen wolltest, dass man
> > das so sagen kann: Ja, meinetwegen. Das geht.
> >
>
> War wohl zu knapp Wollt nur sagen, dass man es allen falls
> noch anders formulieren kann, aber mehr folgt daraus
> nicht.
dann hab' ich wohl einfach zu viel da hineininterpretiert. ^^
> Sorry, für die Verwirrung.
Macht nix. Danke für die "Entwirrung" 
Gruß,
Marcel
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