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| Aufgabe | Ich möchte exemplarisch einen Häufungspunkt beweisen, und zwar von dieser Teilfolge einer Folge [mm] $(a_n)$.
[/mm]
Für alle n = 3k ist:
$ 1 + [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] $ |
So.
Die Indexmenge beginnt doch bei$ n = 1.$ j wäre in diesem Fall [mm] $\frac{1}{3}$.
[/mm]
Als Häufungswert der Teilfolge habe ich $ HW = 1 $ bestimmt. Dies geschah so:
$lim (1 + [mm] \frac{1}{2^n}) [/mm] = 1 $
Nun muss dieser Wert bewiesen werden, was ich folgendermaßen zeigen wollte:
$| ( 1 + [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] - 1 | = [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ n [mm] \ge [/mm] N > [mm] \frac{1}{\varepsilon*ln(2)} [/mm] $
[ Ich habe hier nach n aufgelöst und die letzte Ungleichung erhalten ]
Gleiche Frage wie immer: Stimmt das?
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Hallo,
> Gleiche Frage wie immer: Stimmt das?
Es ist alles ehrlich gesagt etwas konfus, stimmt aber im großen und ganzen wohl. Mehr kann man kaum sagen, wenn man nicht die ganze Aufgabe kennt.
> Ich möchte exemplarisch einen Häufungspunkt beweisen, und
> zwar von dieser Teilfolge einer Folge [mm](a_n)[/mm].
>
> Für alle n = 3k ist:
> [mm]1 + \frac{1}{2^n}[/mm]
> So.
> Die Indexmenge beginnt doch bei[mm] n = 1.[/mm] j wäre in diesem
> Fall [mm]\frac{1}{3}[/mm].
Nein. So wie das dasteht, beginnt (je nach Zählweise) die Indexmenge bei n=0 oder n=3 (was aber für den Häufungspunkt keine Rolle spielt). Das mit dem j kapiere ich nicht.
>
> Als Häufungswert der Teilfolge habe ich [mm]HW = 1[/mm] bestimmt.
> Dies geschah so:
> [mm]lim (1 + \frac{1}{2^n}) = 1[/mm]
>
Richtig, nur die Schreibweise ist mangelhaft.
> Nun muss dieser Wert bewiesen werden, was ich
> folgendermaßen zeigen wollte:
>
> [mm]| ( 1 + \frac{1}{2^n} - 1 | = \frac{1}{2^n} < \varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n \ge N > \frac{1}{\varepsilon*ln(2)}[/mm]
> [ Ich habe hier nach n aufgelöst und die letzte
> Ungleichung erhalten ]
Das ist auch nicht ganz richtig. Es muss so ausschauen:
[mm]n>- \frac{ln(\epsilon)}{ln(2)}[/mm]
Gruß, Diophant
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Hi,
ich poste lieber glatt die ganze Aufgabe, das gibt mehr Sinn:
[mm] $(a_n)_{n=1}^\infty [/mm] $ ist eine reelle Folge gegeben durch:
$1 + [mm] \frac{1}{2^n}$ [/mm] für n = 3k
$2 + [mm] \frac{n+1}{n}$ [/mm] für n = 3k + 1
$2 $ für n = 3k + 2
Das mit dem "j" war ein Tippfehler, ich wollte eigentlich das "k" daneben erwischen. Das "k" selbst ist in der Aufgabenstellung nicht näher beschrieben.
Nun dachte ich, dass - wie vorhin gepostet - die Indexmenge bei n = 1 beginnt (für alle natürlichen Zahlen?), in dem Fall eben $ n = 1 = 3* 1/3 $
Wenn $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] dann bei $ n = 3 = 3*(1) $.
Ich lasse das jetzt erstmal so stehen, bevor ich für noch mehr Verwirrung sorge :)
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Hallo,
Ok. Für die ganze Aufgabe ergibt das jetzt schon viel mehr Sinn. 
>
> [mm](a_n)_{n=1}^\infty[/mm] ist eine reelle Folge gegeben durch:
>
> [mm]1 + \frac{1}{2^n}[/mm] für n = 3k
> [mm]2 + \frac{n+1}{n}[/mm] für n = 3k + 1
> [mm]2[/mm] für n = 3k + 2
>
> Das mit dem "j" war ein Tippfehler, ich wollte eigentlich
> das "k" daneben erwischen. Das "k" selbst ist in der
> Aufgabenstellung nicht näher beschrieben.
>
> Nun dachte ich, dass - wie vorhin gepostet - die Indexmenge
> bei n = 1 beginnt (für alle natürlichen Zahlen?), in dem
> Fall eben [mm]n = 1 = 3* 1/3[/mm]
> Wenn [mm]k \in \mathbb{N}[/mm] dann bei [mm]n = 3 = 3*(1) [/mm].
Nein. Sie kann bei 1 oder bei 0 oder sonst irgendwo beginnen. Das ist hier ähnlich wie bei einer abschnittsweise definierten Funktion. Wenn der Index einen Wert der Form 3k hat, also eine durch 3 teilbare Zahl, dann ist
[mm] a_n=\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Ist der Index von der Form 3k+1, also etwa n=1;4;7;..., dann ist
[mm] a_n=2+\bruch{n+1}{n}
[/mm]
usw.
Diese Terme sind ja die Teilfolgen, die hier jeweils einen Häufungspunkt liefern. Und wenn du eine solche Teilfolge auf ihren Grenzwert (der dann ein Häufungspunkt ist) untersuchst, dann interessiert dich nicht mehr, ob n=3k oder n=157k+4711 oder sonst etwas gilt, denn du lässt [mm] n->\infty [/mm] gehen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
dankesehr :)
Wenn ich nun einen Häufungswert beweisen soll, ist es dann schon ausreichend, den Grenzwert für die (in diesem Fall) drei Teilfolgen zu berechnen?
Oder muss ich mit dem Epsilon-Verfahren arbeiten?
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Hallo,
die drei Teilfolgen haben jeweils verschiedene Grenzwerte. Wenn du zeigen sollst, dass die Folge $ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ Häufungswerte besitzt, reicht es zu zeigen, dass mindestens eine der Teilfolgen konvergiert. In dem Fall kannst du es auch für alle drei direkt machen. Die Grenzwerte deiner Teilfolgen sind per Definition gerade die Häufungswerte der Folge $ [mm] (a_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Das machst du über den dir bekannten Grenzwertbegriff, in dem du, wie Diophant ja bereits erwähnte, $ n [mm] \to \infty$ [/mm] untersuchst.
Dabei machst du stillschweigend gebrauch von deiner $ [mm] \varepsilon-$Umgebung, [/mm] da du auf (hoffentlich) bereits bekannte Grenzwerte wie $ [mm] \frac{1}{n} \to [/mm] 0 $ zurückgreifst, was (davon gehe ich jetzt aus) mittels der $ [mm] \varepsilon-$Umgebung [/mm] für $ [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] = [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] $ für jedes bel. $ [mm] \varepsilon [/mm] $ gezeigt wurde.
Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.
Viele Grüße,
ChopSuey
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