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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Sa 03.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | In der Einführung in die Analysis wird der Häufungspunkt definiert als:
(1) Sei A [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] und a [mm] \in \mathbb{R}:
[/mm]
a ist ein Häufungspunkt von A: [mm] \forall \epsilon>0: U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A enthält unendlich viele Punkte.
In der Einführung in die Topologie wird ein Häufungspunkt so definiert:
(X,O) Topologischer Raum, a [mm] \in [/mm] X, A [mm] \subseteq [/mm] X
a Häufungspunkt von A: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U_a: [/mm] U [mm] \cap [/mm] (A [mm] \setminus\{a\}) \not=\emptyset
[/mm]
Wenn ich die topologische Definition für den topologischen Raum [mm] (\mathbb{R},O_n) [/mm] aufschreibe:
(2) A [mm] \subseteq \mathbb{R}, [/mm] a [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
a Häufungspunkt von A: [mm] \forall \epsilon>0: U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \setminus\{a\}) \not=\emptyset
[/mm]
Frage 1): Sind die beiden Definitionen äquivalent in [mm] \mathbb{R}?
[/mm]
Frage 2): Sind in topologischen Räumen die Definition oben und und die Definition, dass a heißt Häufungspunkt ist, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen äquivalent? Oder würde man da Folgenglieder durch Netzglieder vertauschen? |
Hallo,
Eine Frage die schon mehrmals bei mir aufkam.
Bezüglich 1) Es ist klar aus (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2). Aber gilt auch die Rückrichtung?
Kann auch sein, dass es eine Trivialität ist, die mir nie aufgefallen ist :O
Ich würde mich sehr freuen auf eine Aufklärung bezüglich der beiden Definitionen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Sa 03.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> In der Einführung in die Analysis wird der Häufungspunkt
> definiert als:
> (1) Sei A [mm]\subseteq \mathbb{R}[/mm] und a [mm]\in \mathbb{R}:[/mm]
> a
> ist ein Häufungspunkt von A: [mm]\forall \epsilon>0: U_{\epsilon}[/mm]
> (a) [mm]\cap[/mm] A enthält unendlich viele Punkte.
>
> In der Einführung in die Topologie wird ein Häufungspunkt
> so definiert:
> (X,O) Topologischer Raum, a [mm]\in[/mm] X, A [mm]\subseteq[/mm] X
> a Häufungspunkt von A: [mm]\forall[/mm] U [mm]\in U_a:[/mm] U [mm]\cap[/mm] (A
> [mm]\setminus\{a\}) \not=\emptyset[/mm]
>
>
> Wenn ich die topologische Definition für den topologischen
> Raum [mm](\mathbb{R},O_n)[/mm] aufschreibe:
> (2) A [mm]\subseteq \mathbb{R},[/mm] a [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> a
> Häufungspunkt von A: [mm]\forall \epsilon>0: U_{\epsilon}[/mm] (a)
> [mm]\cap[/mm] (A [mm]\setminus\{a\}) \not=\emptyset[/mm]
>
> Frage 1): Sind die beiden Definitionen äquivalent in
> [mm]\mathbb{R}?[/mm]
Ja.
> Frage 2): Sind in topologischen Räumen die Definition
> oben und und die Definition, dass a heißt Häufungspunkt
> ist, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes
> unendlich viele Folgenglieder liegen äquivalent? Oder
> würde man da Folgenglieder durch Netzglieder vertauschen?
In allgemeinen top. Räumen kommst Du mit Folgen nicht aus ! Da brauchst Du schon Netze oder Filter.
> Hallo,
> Eine Frage die schon mehrmals bei mir aufkam.
> Bezüglich 1) Es ist klar aus (1) [mm]\Rightarrow[/mm] (2). Aber
> gilt auch die Rückrichtung?
Wir sind also in [mm] \IR [/mm] und es gelte (2).
Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Nach Vor. enthält $ [mm] U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A$ mindestens ein Element [mm] a_1.
[/mm]
Ebenso enthält $ [mm] U_{\epsilon/2} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A$ mindestens ein Element [mm] a_2.
[/mm]
Genauso enthält $ [mm] U_{\epsilon/3} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A$ mindestens ein Element [mm] a_3.
[/mm]
Etc.... Nun überzeuge Dich davon, dass die Menge [mm] \{a_1,a_2,a_3,.... \} [/mm] nicht endlich ist.
FRED
>
> Kann auch sein, dass es eine Trivialität ist, die mir nie
> aufgefallen ist :O
>
> Ich würde mich sehr freuen auf eine Aufklärung bezüglich
> der beiden Definitionen.
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 04.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort. Aber woher weißt du, dass [mm] a_1,a_2,.. [/mm] alle verschieden sind?
Mein Versuch wäre:
Angenommen [mm] \exists \epsilon_0>0: U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A enthält nur endlich viele Punkte [mm] \{a_1,a_2,..,a_n\}, [/mm] die ungleich a sind.
Sei [mm] \overline{\epsilon}:= [/mm] min [mm] \{|a_i-a|: i \in \{1,..,n\}\}
[/mm]
So folgt [mm] U_{\frac{\overline{\epsilon}}{2}}(a) \cap (A\setminus \{a\})= \emptyset \rightarrow [/mm] Widerspruch zu 2.
Und der Beweis gilt modifiziert natürlich in allen metrischen Räumen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Mo 05.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> Danke für deine Antwort. Aber woher weißt du, dass
> [mm]a_1,a_2,..[/mm] alle verschieden sind?
>
> Mein Versuch wäre:
> Angenommen [mm]\exists \epsilon_0>0: U_{\epsilon_0}(a) \cap[/mm] A
> enthält nur endlich viele Punkte [mm]\{a_1,a_2,..,a_n\},[/mm] die
> ungleich a sind.
> Sei [mm]\overline{\epsilon}:=[/mm] min [mm]\{|a_i-a|: i \in \{1,..,n\}\}[/mm]
>
> So folgt [mm]U_{\frac{\overline{\epsilon}}{2}}(a) \cap (A\setminus \{a\})= \emptyset \rightarrow[/mm]
> Widerspruch zu 2.
Versuch geglückt !
FRED
>
> Und der Beweis gilt modifiziert natürlich in allen
> metrischen Räumen.
>
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Sa 10.10.2015 | | Autor: | sissile |
Supa, danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
Nur kleinere Ergänzungen zu Freds Antwort:
> Frage 1): Sind die beiden Definitionen äquivalent in
> [mm]\mathbb{R}?[/mm]
Eine entsprechende Äquivalenzaussage gilt (mit analogem Beweis) auch für beliebige metrische Räume.
> Frage 2): Sind in topologischen Räumen die Definition
> oben und und die Definition, dass a heißt Häufungspunkt
> ist, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes
> unendlich viele Folgenglieder liegen äquivalent? Oder
> würde man da Folgenglieder durch Netzglieder vertauschen?
Meinst du "Elemente von A" statt "Folgenglieder"?
Betrachte mal [mm] $X:=\{1,2\}$ [/mm] mit der Topologie [mm] $\tau:=\{\emptyset,X\}$ [/mm] und $A=X$.
Dann ist z.B. $1$ ein Häufungspunkt von $A$.
In der Umgebung $X$ von $1$ liegen jedoch nur endlich viele Punkte aus $A$ (nämlich nur die beiden Punkte 1 und 2).
Für metrische Räume $X$ und Teilmengen [mm] $A\subseteq [/mm] X$ kann man zeigen:
Ein Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ ist genau dann Häufungspunkt von $A$, wenn eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Punkten [mm] $a_n\in A\setminus\{x\}$ [/mm] existiert, die gegen $x$ konvergiert.
Für beliebige topologische Räume $X$ und Teilmengen [mm] $A\subseteq [/mm] X$ gilt ein analoges Kriterium mit Netzen anstelle von Folgen:
Ein Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ ist genau dann Häufungspunkt von $A$, wenn ein Netz [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] von Punkten [mm] $a_i\in A\setminus\{x\}$ [/mm] existiert, das gegen $x$ konvergiert.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 So 04.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke, ist klar.
LG,
sissi
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