Häufungspunkt Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 17.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Was ist ein Häufungspunkt ener Folge reeller Zahlen?
Folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes einer Folge positiver Zahlen xn dass lim n-> 00 (unendlich) ? (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Häufunngspunkt besagt ja eigentlich, dass eine Epsilonumgebung der Folge unendlich viele Folgenglieder enthält. Das heisst: |h - an| < E
und da jede konvergente Teilfolge einen Häufungspunkt haben muss, stimmt diese Aussage ja dann.
Eine Frage bevor ich eine Frage zum Beweis habe, ist die zur Definition:
eine alternierende Folge, (also eine die immer Springt) hat diese dann 2 Grenzwerte und 2 Häufungspunkte?
So nun zum Beweis:
Ich weiss, nach Bolzano-Weierstraß, dass jede konvergente Folge einen Häufungspunkt besitzt. Eigentlich ist der Fall klar, kein Häufungspunkt = kein Grenzwert.
Beweisen weiss ich nciht wie man das schön kann,
hätte halt gesagt, da
|h - an| < E nicht exisitiert, gibt es auch kein |c - an| < E (c für Grenzwert)
muss ich das irgendwie noch anders beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Fr 17.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Was ist ein Häufungspunkt ener Folge reeller Zahlen?
> Folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes einer
> Folge positiver Zahlen xn dass lim n-> 00 (unendlich) ?
> (Beweis oder Gegenbeispiel)
> Häfungspunkt besagt ja eigentlich, dass eine
> Epsilonumgebung der Folge unendlich viele Folgenglieder
> enthält. Das heisst: |h - an| < E
>
> und da jede konvergente Teilfolge einen Häufungspunkt
> haben muss,
nämlich ihren Grenzwert !!
> stimmt diese Aussage ja dann.
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen. [mm] \alpha [/mm] heisst Häufungspunkt von [mm] (a_n), [/mm] wenn [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (a_n') [/mm] enhält mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n' [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
Man kann zeigen: [mm] \alpha [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] (a_n) \gdw [/mm] für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] a_n \in (\alpha [/mm] - [mm] \varepsilon, \alpha [/mm] - [mm] \varepsilon) [/mm] für unendlich viele n.
>
> Eine Frage bevor ich eine Frage zum Beweis habe, ist die
> zur Definition:
> eine alternierende Folge, (also eine die immer Springt)
> hat diese dann 2 Grenzwerte und 2 Häufungspunkte?
Nein. Beispiel: [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
>
> So nun zum Beweis:
> Ich weiss, nach Bolzano-Weierstraß, dass jede konvergente
> Folge einen Häufungspunkt besitzt.
Das ist nicht Bolzano-Weierstraß, sondern eine Trivialität !!
Bolzano-Weierstraß: jede Beschränkte Folge hat einen Häufungspunkt .
> Eigentlich ist der Fall
> klar, kein Häufungspunkt = kein Grenzwert.
>
> Beweisen weiss ich nciht wie man das schön kann,
> hätte halt gesagt, da
> |h - an| < E nicht exisitiert, gibt es auch kein |c - an|
> < E (c für Grenzwert)
??????????????
>
> muss ich das irgendwie noch anders beweisen?
Das oben ist kein Beweis !!
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge positiver Zahlen ohne Häufungspunkte.
Sei C > 0. Annahme: [mm] a_n \le [/mm] C für unendlich viele n. Dann enthält [mm] (a_n) [/mm] eine beschränkte Teilfolge [mm] (a_n'). [/mm] Nach bolzano- Weierstraß hat [mm] (a_n') [/mm] einen Häufungspunkt . Dieser ist dann aber auch Häufungspunkt von [mm] (a_n), [/mm] Widerspruch.
Also gilt: [mm] a_n [/mm] > C für fast alle n.
Fazit: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
FRED
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> Eine Frage bevor ich eine Frage zum Beweis habe, ist die
> zur Definition:
> eine alternierende Folge, (also eine die immer Springt)
> hat diese dann 2 Grenzwerte und 2 Häufungspunkte?
Es gibt überhaupt keine Folge, die zwei Grenzwerte hat. Der Grenzwert einer Folge ist immer eindeutig!!
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Eine Frage bevor ich eine Frage zum Beweis habe, ist die
> > zur Definition:
> > eine alternierende Folge, (also eine die immer Springt)
> > hat diese dann 2 Grenzwerte und 2 Häufungspunkte?
>
> Es gibt überhaupt keine Folge, die zwei Grenzwerte hat.
> Der Grenzwert einer Folge ist immer eindeutig!!
strenggenommen ist das falsch. Zum Beispiel sind Grenzwerte in halbmetrischen Räumen i.a. alles andere als eindeutig.
Aber bzgl. Folgen des metrischen Raumes [mm] $(\IR,\,d_{|.|})$, [/mm] wobei [mm] $d_{|.|}$ [/mm] die vom Betrag induzierte Metrik sei (d.h. [mm] $d_{|.|}(x,y):=|x-y|$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$) [/mm] hast Du natürlich recht, denn, wie gesagt: Hier handelt es sich um einen metrischen Raum.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Fr 17.07.2009 | | Autor: | katjap |
vielen dank für eure hilfe,
hat mich sehr weitergebracht
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