Häufungspunkt/Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien (X, dX), (Y, dY ) metrische Räume, und es sei f : X [mm] \to [/mm] Y injektiv. Beweisen Sie:
Ist x0 ein Häufungspunkt von X und ist f stetig an x0, so ist f(x0) ein Häufungspunkt
von Y . Gilt dies auch ohne die Voraussetzung der Injektivität? |
also ich weiß garnicht wie man da vorgehen soll...anscheinend weiß ich auch nicht genau was ein Häufungspunkt ist
wir hatten 2 definitionen
f heißt stetig an der Stelle x0 [mm] \in [/mm] X , falls zu jedem [mm] \varepsilon> [/mm] 0 ein [mm] \delta\varepsilon [/mm] > 0 existiert mit
dY (f(x), f(x0)) < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M mit dX(x, x0) < [mm] \delta \varepsilon [/mm]
f ist stetig an der Stelle [mm] x0\gdw [/mm] Für alle Folgen (xn) in X mit xn [mm] \to [/mm] x0 gilt f(xn) [mm] \to [/mm] f(x0).
Für mich würd das zeigen das es an Y nen häufungspunkt gibt???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mo 04.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das zeigt es im Prinzip. Aber du musst schon die def. von HP hinschreiben, und zeigen dass [mm] f(x_0) [/mm] einer ist.
Brauchst du dass f injektiv ist? wenn nicht, muss die Injektivitaet eingehen in den beweis.
Gruss leduart
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naja was es mit injektivität zu tun weiß ich nicht
eig müsste es ja egal sein?
meine ansätze sind unabh von injektiven funktionen
naja eine funktion kann mehrere hp's haben also wärs egal wenn 2 hp's den gleichen f(x) wert haben aber nicht beieinander liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mo 04.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir mal die einfache stetige nicht injektive Funktion f(x)=3 an.
Und was ist die Def. von HP bei euch?
Gruss leduart
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Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Ein Punkt x0 [mm] \in [/mm] X heißt Häufungspunkt
(von X), falls zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein x [mm] \in [/mm] X mit 0 < d(x, x0) < [mm] \varepsilon [/mm] existiert.
okay, dass kann man ja auch auf Y umformen....
so an ne konstante funktion hab ich auch gedacht.
also müsste das jetzt heißen 0 < d( f(x), f(x0) )
wird verletzt weil der abstand von jeden f(x) und f(x0) immer null ist?
hab jetzt irgendwie im kopf...vll is es auch falsch
die umkehrfunktion von f ist nur stetig wenn f bijektiv ist,
könnte ja dann auch so argumentieren das durch den stetigkeitsverlust, der häufungspunkt verloren geht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Um diesem Geschwafel ein Ende zu bereiten:
Annahme [mm] f(x_0) [/mm] ist kein HP von Y. Dann ex. ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit
(*) [mm] $d_Y(y,f(x_0)) \ge \varepsilon$ [/mm] für jedes y [mm] \in [/mm] Y mit y [mm] \not= f(x_0)
[/mm]
Da f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit
(**) [mm] $d_Y(f(x), f(x_0)) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für x [mm] \in [/mm] X mit [mm] $d_X(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
Da [mm] x_0 [/mm] HP von X ist, gibt es ein [mm] x_1 \in [/mm] X mit [mm] $d_X(x_1,x_0) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und [mm] x_1 \not= x_0
[/mm]
Aus (**) folgt:
[mm] $d_Y(f(x_1), f(x_0) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ .
Da aber f injektiv ist , haben wir [mm] f(x_1) \not= f(x_0). [/mm] Aus (*) ergibt sich dann der Widerspruch
[mm] $d_Y(f(x_1),f(x_0)) \ge \varepsilon$ [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> könnte ja dann auch so argumentieren das durch den
> stetigkeitsverlust, der häufungspunkt verloren geht???
Genau so mußt Du argumentieren ! Den Häufungspunkt findest Du dann sicher unterm Teppich wieder und die Stetigkeit hat bis dahin die Lust verloren stetig zu sein.
FRED
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