Häufungspunkt einer Teilmenge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A ⊂ [mm] \IC [/mm] eine Menge.
Beweisen Sie, dass die Menge aller Häufungspunkte von A eine abgeschlossene Menge ist. |
Hallo! Ich komme leider nicht auf eine Beweisidee.
Ich weiss die Definition eines Häufungspunktes einer Menge:
x0 ist Häufungspunkt einer Menge, wenn jede Umgebung von x0 unendlich viele Punkte aus der Menge enthält.
Aber ich habe Mühe damit. Ich wäre sehr froh, um einen Tipp für den Ansatz. Danke!
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Hiho,
schön wäre es noch gewesen, wenn du eure Definition einer "abgeschlossenen Menge" mit angegeben hättest.
Vermutlich habt ihr (auch) folgende Definition: $A [mm] \subseteq \IC$ [/mm] ist abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] A$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $\lim_{n\in\IN} x_n \in [/mm] A$
D.h. der Grenzwert einer jeder Folge aus Elementen der Menge A liegt selbst in der Menge A.
D.h.: Nimm eine konvergente Folge in $A$ und zeige, dass der Grenzwert selbst auch wieder in A liegt.
Das ist aber einfach: Sei $x = [mm] \lim_{n\to\infty} x_n$ [/mm] der Grenzwert der Folge. Schreibe nun mal hin, was das nach Definition bedeutet. (Für alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] …)
Nun nimm dir eine offene Umgebung um $x$ und zeige, dass dort nach obiger Definition unendlich viele der [mm] $x_n$ [/mm] drinliegen. Da nach Voraussetzung alle [mm] x_n [/mm] in A sind, sind also in der Umgebung…
Gruß,
Gono
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> Hiho,
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> schön wäre es noch gewesen, wenn du eure Definition einer
> "abgeschlossenen Menge" mit angegeben hättest.
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> Vermutlich habt ihr (auch) folgende Definition: [mm]A \subseteq \IC[/mm]
> ist abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge
> [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n \in A[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
> [mm]\lim_{n\in\IN} x_n \in A[/mm]
>
> D.h. der Grenzwert einer jeder Folge aus Elementen der
> Menge A liegt selbst in der Menge A.
>
> D.h.: Nimm eine konvergente Folge in [mm]A[/mm] und zeige, dass der
> Grenzwert selbst auch wieder in A liegt.
>
> Das ist aber einfach: Sei [mm]x = \lim_{n\to\infty} x_n[/mm] der
> Grenzwert der Folge. Schreibe nun mal hin, was das nach
> Definition bedeutet. (Für alle [mm]\varepsilon[/mm] …)
für alle eta > 0
ist [mm] \left| x_n - x \right| [/mm] < eta
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> Nun nimm dir eine offene Umgebung um [mm]x[/mm] und zeige, dass dort
> nach obiger Definition unendlich viele der [mm]x_n[/mm] drinliegen.
> Da nach Voraussetzung alle [mm]x_n[/mm] in A sind, sind also in der
> Umgebung…
wenn U(x) offen, sind unendich viele Folgenglieder in U(x)
Ich habe mir das mit Kreisscheiben mit dem Radius von unterschiedlichen eta aufgezeichnet. Wenn die Umgebung nicht beschränkt ist, kann man beliebig grosse eta wählen und es werden immer Folgenglieder enthalten sein.
nach Voraussetzung sind alle [mm] x_n [/mm] in A
Daraus folgt A = U(x) und dann wäre A = [mm] \IC [/mm] , das geht aber nicht, da es eine Teilmenge ist
>
> Gruß,
> Gono
Stimmt das so? Vielen Dank für die Hilfe!
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Hiho,
> für alle eta > 0
> ist [mm]\left| x_n - x \right|[/mm] < eta
Da fehlt noch die Hälfte.
Bitte die Definition einmal sauber aufschreiben!
Für obiges ist bspw. gar nicht klar: Für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] für eins, für ein paar, für alle geraden? Ja was denn nun?
> wenn U(x) offen, sind unendich viele Folgenglieder in U(x)
Warum?
Und: Umgebungen sind immer offen.
> Ich habe mir das mit Kreisscheiben mit dem Radius von
> unterschiedlichen eta aufgezeichnet. Wenn die Umgebung
> nicht beschränkt ist, kann man beliebig grosse eta wählen
> und es werden immer Folgenglieder enthalten sein.
Es soll aber in jeder Umgebung von x unendlich viele Elemente von A enthalten sein. Nicht nur in beliebig großen, sondern insbesondere in beliebig kleinen.
> nach Voraussetzung sind alle [mm]x_n[/mm] in A
Jo.
> Daraus folgt A = U(x) und dann wäre A = [mm]\IC[/mm] , das geht aber nicht, da es eine Teilmenge ist
Das ist Blödsinn… lassen wir das mal sein.
Gruß,
Gono
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Ok, ich versuche es nochmal:
A Teilmenge von [mm] \IC
[/mm]
A Teilmenge von [mm] \IC [/mm] abgeschlossen, wenn für jede kovergente Folge
[mm] (x_n)n\in \IN [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] A, für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
lim [mm] x_n \in [/mm] A
Sei [mm] (x_n)n \in \IN [/mm] konvergente Folge und lim [mm] x_n [/mm] = x (für n-> unendlich)
dann gilt:
Zu jedem eta > 0 existiert ein n [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \left| x_n - x \right| [/mm] < eta
x ist Häufungspunkt von A
Daraus folgt nach Def.:
In jeder Umgebung von x liegen unendlich viele Folgeglieder.
Da alle [mm] x_n [/mm] in A nach Voraussetzung und da gilt, für jedes n [mm] \in \IN [/mm] existiert ein eta mit [mm] \left| x_n - x \right| [/mm] < eta
liegt x in A
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 12.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich versuche es nochmal:
>
> A Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
>
> A Teilmenge von [mm]\IC[/mm] abgeschlossen, wenn für jede
> kovergente Folge
> [mm](x_n)n\in \IN[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm] A, für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt
>
> lim [mm]x_n \in[/mm] A
>
> Sei [mm](x_n)n \in \IN[/mm] konvergente Folge
die [mm] x_n [/mm] sollen doch in A liegen, warum schreibst du das nicht hin ?....
> und lim [mm]x_n[/mm] = x (für
> n-> unendlich)
>
> dann gilt:
> Zu jedem eta > 0 existiert ein n [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]\left| x_n - x \right|[/mm] < eta
auch hier fehlt wieder viel. Schreib die vollständige Def. der Folgenkonvergenz hin.
>
> x ist Häufungspunkt von A
>
> Daraus folgt nach Def.:
>
> In jeder Umgebung von x liegen unendlich viele
> Folgeglieder.
>
> Da alle [mm]x_n[/mm] in A nach Voraussetzung und da gilt, für jedes
> n [mm]\in \IN[/mm] existiert ein eta mit [mm]\left| x_n - x \right|[/mm] <
> eta
> liegt x in A
Verstehst Du diesen Satz? Ich nicht
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