Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen
[mm] (a_n)_{n\in\IN)} [/mm] mit
[mm] (a_n) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{2}n)
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{3}n) [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n n^2+2}{2n^2+1} [/mm] |
[mm] (a_n) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{2}n)
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = { [mm] cos(\bruch{\pi}{2}),cos(\pi),cos(\bruch{3\pi}{2}),cos(2\pi)... [/mm] }
[mm] a_n [/mm] = {0,-1,0,1,0,-1,0,1,...}
d.h die Häufungspunkte sind
a_4k = 0
[mm] a_{4k+1} [/mm] = -1
[mm] a_{4k+2} [/mm] = 0
[mm] a_{4k+3} [/mm] = 1
----
[mm] (a_n) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{3}n) [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n n^2+2}{2n^2+1}
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] = [mm] (b_n) [/mm] + [mm] (c_n)
[/mm]
[mm] (b_n) [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{3}n)
[/mm]
[mm] (b_n) [/mm] = { [mm] sin(\bruch{\pi}{3}), sin(\bruch{2\pi}{3}), sin(\pi),... [/mm] }
d.h.
[mm] sin(\bruch{\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{2\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{7\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{8\pi}{3}) [/mm] = ...
[mm] sin(\pi) [/mm] = [mm] sin(2\pi) [/mm] = [mm] sin(3\pi) [/mm] = ...
[mm] sin(\bruch{4\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{5\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{10\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{11\pi}{3}) [/mm] = ...
also:
b_5k = [mm] b_{5k+1}
[/mm]
[mm] b_{5k+2} [/mm]
[mm] b_{5k+3} [/mm] = [mm] b_{5k+4}
[/mm]
Kann man das irgendwie anders schreiben???
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n n^2+2}{2n^2+1}
[/mm]
[mm] c_n [/mm] ist hier eine Nullfolge damit hat es einen Häufungspunkt bei 0, oder?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^n n^2+2}{2n^2+1} [/mm] = 0 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Do 11.02.2016 | | Autor: | statler |
Hallo!
> [mm]c_n[/mm] ist hier eine
> Nullfolge damit hat es einen Häufungspunkt bei 0, oder?
Hier nicht, und woanders auch nicht.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Na gut, sie läuft gegen im negativen gegen -0,5 bzw im positiven 0,5 also für
[mm] c_{2k} [/mm] = 0,5 und
[mm] c_{2k+1} [/mm] = -0,5
sind es jetzt die Häufungspunkte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 11.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Na gut, sie läuft gegen im negativen gegen -0,5 bzw im
> positiven 0,5 also für
> [mm]c_{2k}[/mm] = 0,5 und
> [mm]c_{2k+1}[/mm] = -0,5
>
> sind es jetzt die Häufungspunkte?
So kannst Du das nicht formulieren !
Wir haben:
$ [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n n^2+2}{2n^2+1} [/mm] $
Dann ist
[mm] c_{2k}=\bruch{4k^2+2}{8k^2+1}.
[/mm]
Somit hat die Teilfolge [mm] (c_{2k}) [/mm] den Grenzwert [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Weiter ist
[mm] $c_{2k-1}=-\bruch{4k^2-4k+3}{8k^2-8k+3}.$
[/mm]
Somit hat die Teilfolge [mm] (c_{2k-1}) [/mm] den Grenzwert [mm] $-\bruch{1}{2}$.
[/mm]
[mm] (c_n) [/mm] hat also genau die Häufungspunkte [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] $-\bruch{1}{2}$.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Ja wollte ich auch, war nur so kurz geschrieben.
Also ich habe jetzt die Häufungspunkte von [mm] b_n
[/mm]
[mm] b_{5k} [/mm] = [mm] sin(\bruch{\pi}{3}) [/mm] = [mm] b_{5k+1}
[/mm]
[mm] b_{5k+2} [/mm] = 0
[mm] b_{5k+3} [/mm] = [mm] sin(\bruch{4\pi}{3}) [/mm] = [mm] b_{5k+4}
[/mm]
und
[mm] c_{2k} [/mm] = 0,5
[mm] c_{2k+1} [/mm] = -0,5
d.h. die Häufungspunkte sind
[mm] sin(\bruch{\pi}{3})+0,5, sin(\bruch{\pi}{3})-0,5, [/mm] 0,5 , -0,5 , [mm] sin(\bruch{4\pi}{3})+0,5, sin(\bruch{4\pi}{3})-0,5
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 11.02.2016 | | Autor: | abakus |
Nun solltest du nur noch konkret angeben, was [mm] $sin\frac{\pi}{3}$ [/mm] konkret ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Das ist rund 0.86602540378 aber da wir kein Taschenrechner benutzen dürfen sollte ich das gar nicht ausrechnen können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Do 11.02.2016 | | Autor: | abakus |
> Das ist rund 0.86602540378
Das sind GENAU [mm] $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
[/mm]
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