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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:14 So 29.11.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Sei ( [mm] x_{n} )_{n \in \IN } [/mm] eine Folge in [mm] \IR \cup [/mm] {- [mm] \infty, \infty [/mm] } und [mm] a_{n} [/mm] = sup{ [mm] x_{k} [/mm] : k [mm] \ge [/mm] n}. Zeigen Sie
a) [mm] (x_{n} )_{n \in \IN } [/mm] hat einen Häufungspunkt. Ist [mm] (x_{n} )_{n \in \IN } [/mm] monoton, so auch konvergent.
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup x_{n} [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] (x_{n} )_{n \in \IN }.
[/mm]
c) [mm] (a_{n} )_{n \in \IN } [/mm] konvergiert in [mm] \IR \cup [/mm] {- [mm] \infty, \infty [/mm] }, und es gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = inf { [mm] a_{n} [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] } |
Hallo Zusammen!
In Aufgabenteil a) brauch ich ja nur unterscheiden, ob die Folge [mm] x_{n} [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert oder nicht. Wenn sie es nicht tut, unterscheide ich noch, ob sie beschränkt ist oder nicht. Damit kann man es ganz einfach zeigen. Bei der Monotonie brauch ich ja eigentlich nur wieder zwischen beschränkt und unbeschränkt unterscheiden und kann es dann auch ganz leicht zeigen.
Aufgabenteil b) hört sich für mich ein bischen trivial an, da wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup x_{n} [/mm] definiert haben als sup{ a [mm] \in \IR \cup [/mm] {- [mm] \infty, \infty [/mm] } | a HP der Folge [mm] x_{n} [/mm] } und das Supremum der Häufungspunkte einer Folge ist natürlich wieder Häufungspunkt.
Mein Problem liegt bei Aufgabenteil c). Ich habe leider nicht wirklich eine Idee, wie ich es zeigen kann. Ich weiß, dass [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend ist, da wir es in der Vorlesung so gesagt haben. Viel mehr als das und die definition aus b) hab ich leider nciht.
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
LG Julsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 01.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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