Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Aufgabe, für die mir der Ansatz fehlt:
Man zeige, dass +1 und -1 die einzigen Häufungspunkte der Folgen [mm] a_n=(-1)^n [/mm] und [mm] a_n=(-1)^n+\bruch{1}{n}, n\ge [/mm] 1 sind.
Kann mir jemand sagen, wie ich bei dieser Aufgabe anfange?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Do 28.07.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo!
> Hier noch eine Aufgabe, für die mir der Ansatz fehlt:
>
> Man zeige, dass +1 und -1 die einzigen Häufungspunkte der
> Folgen [mm]a_n=(-1)^n[/mm]
Daß +1 und -1 Häufungspunkte sind, liegt daran, daß in jeder Umgebung der beiden Punkte unendlich viele Folgenglieder liegen, lax gesprochen so etwa die Hälfte, nämlich einmal die 'geraden' (bei +1) und einmal die 'ungeraden' Folgenglieder (bei -1). Häufungspkt. heißt ja, daß in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen müssen. Das sind auch die einzigen Häufungspunkte, weil man bei jedem anderen Kandidaten die Umgebung so klein wählen kann, daß +1 und -1 nicht mehr drin sind, und dann liegt überhaupt kein Folgenglied in dieser Umgebung.
und [mm]a_n=(-1)^n+\bruch{1}{n}, n\ge[/mm] 1
> sind.
>
Hier ist es ganz ähnlich, für vorgegebenes epsilon und hinreichend großes n liegt z. B. jedes zweite Folgenglied in der zugehörigen epsilon-Umg. von +1 und die anderen dann in der epsilon-Umg. von -1. In kleinen epsilon-Umgebungen von anderen Kand. können zwar Folgenglieder liegen, aber höchstens endlich viele. Eben nur die paar, die da zufällig reinfallen.
> Kann mir jemand sagen, wie ich bei dieser Aufgabe anfange?
>
Kriegst du das mit epsilon und einem N-null usw. usw. hin? Wenn ja, super, wenn nicht, bis Montag.
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Gruß aus HH-Harburg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter!
Erstmal danke für die Antwort, und dann direkt noch eine andere Sache:
Im Buch, wo die Aufgabe drin stand, ist Häufungspunkt folgendermaßen definiert:
Eine Zahl a heißt Häufungspunkt einer Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}, [/mm] wenn es eine Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] gibt, die gegen a konvergiert.
Leider ist nirgendwo eine andere Formulierung, und auch nirgenwo gezeigt, dass das äquivalent zu deiner Definition ist.
Mir war zwar klar, dass diese beiden Punkte die einzigen Häufungspunkte sein müssen, aber ich konnte es mit dieser Definition nicht beweisen. Geht das denn auch? Oder zeigt man da lieber die Äquivalenz der beiden Definitionen und macht es dann so wie du?
> > Man zeige, dass +1 und -1 die einzigen Häufungspunkte der
> > Folgen [mm]a_n=(-1)^n[/mm]
>
> Daß +1 und -1 Häufungspunkte sind, liegt daran, daß in
> jeder Umgebung der beiden Punkte unendlich viele
> Folgenglieder liegen, lax gesprochen so etwa die Hälfte,
> nämlich einmal die 'geraden' (bei +1) und einmal die
> 'ungeraden' Folgenglieder (bei -1). Häufungspkt. heißt ja,
> daß in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen
> müssen. Das sind auch die einzigen Häufungspunkte, weil man
> bei jedem anderen Kandidaten die Umgebung so klein wählen
> kann, daß +1 und -1 nicht mehr drin sind, und dann liegt
> überhaupt kein Folgenglied in dieser Umgebung.
>
> und [mm]a_n=(-1)^n+\bruch{1}{n}, n\ge[/mm] 1
> > sind.
Also, deine Erklärung leuchtet mir ein, aber ich weiß nicht, wie man das noch groß "mathematisch" schreiben soll. Also, ich habe mal so angefangen:
sei [mm] x\notin \{1,-1\} [/mm] ein Häufungspunkt, dann wähle [mm] \varepsilon [/mm] < |1-|x||, z. B. [mm] \varepsilon [/mm] := |1-|x||-1
[mm] \Rightarrow a_n\notin [x-\varepsilon,x+\varepsilon] \forall [/mm] n und somit kann x kein Häufungspunkt sein
Allerdings scheint mir das etwas holprig. Geht das auch besser zu formulieren, außer mit Worten?
> Hier ist es ganz ähnlich, für vorgegebenes epsilon und
> hinreichend großes n liegt z. B. jedes zweite Folgenglied
> in der zugehörigen epsilon-Umg. von +1 und die anderen dann
> in der epsilon-Umg. von -1. In kleinen epsilon-Umgebungen
> von anderen Kand. können zwar Folgenglieder liegen, aber
> höchstens endlich viele. Eben nur die paar, die da zufällig
> reinfallen.
Hier müsste das ja dann sehr ähnlich gehen, das [mm] \varepsilon [/mm] kann ich wahrscheinlich genauso wählen und dann fehlt nur noch das [mm] n_0. [/mm] Falls du mir für die erste Aufgabe mal eine bessere Formulierung schreibst, will ich es dann hier auch nochmal versuchen. 
> Kriegst du das mit epsilon und einem N-null usw. usw. hin?
> Wenn ja, super, wenn nicht, bis Montag.
Oje - hast du nur im Büro Internet oder so? Oder bist du einfach nur bis Montag in Urlaub oder so ähnlich? Naja, macht nichts, ich hab' ja Zeit.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> Mir war zwar klar, dass diese beiden Punkte die einzigen
> Häufungspunkte sein müssen, aber ich konnte es mit dieser
> Definition nicht beweisen. Geht das denn auch?
Du kannst Deine Folge [mm]a_n \ := \ (-1)^n[/mm] ja in folgende Teilfolgen zerlegen, da diese sich ja nur unterscheiden für gerade und ungerade Folgennummern $n_$.
[mm] $a_{2k} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{2k} [/mm] \ = \ +1$ sowie [mm] $a_{2k+1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{2k+1} [/mm] \ = \ -1$
Für diese beiden Teilfolgen [mm] $a_{2k}$ [/mm] und [mm] $a_{2k+1}$ [/mm] kannst Du ja nun "klassisch" die entsprechenden Grenzwerte [mm] $\limes_{k\rightarrow \infty}a_{2k}$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{k\rightarrow \infty}a_{2k+1}$ [/mm] (= Häufungspunkte der Ursprungsfolge [mm] $a_n$ [/mm] ) nachweisen.
Für Deine zweite Folge mit [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] (-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] funktioniert das analog.
Reicht Dir das für Deine Nachweisführung nun aus?
Gruß
Loddar
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
- hatte ich vergessen.
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]"){kind=small}
Bastiane (mal wieder 
...) !!
