Häufungswert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen ihr Mathematiker!
ich soll beweisen, dass eine zahl a [mm] \in \IR [/mm] genau dann Häufungswert der reellen zahlenfolge [mm] a_{n} [/mm] ist, wenn jede epsilon-umgebung von a unendlich viele glieder der folge [mm] a_{n} [/mm] enthält.
so wie ich das sehe, ist der grundgedanke des beweises, dass ich zeigen muss, dass dieser satz stimmt, wenn grenzwert einer zahlenfolge = häufungswert.
aber wie stelle ich das an?
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Wie habt ihr denn "Häufungswert" definiert? Im Allgemeinen ist das, was du zeigen sollst, nämlich die Definition davon.
Falls ihr "Häufungswert" so definiert habe, dass ein Punkt $a [mm] \in \IR$ [/mm] genau dann Häufungswert einer Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist, wenn es eine konvergente Teilfolge gibt, die gegen $a$ konvergiert, dann gehe in der nicht-trivialen Richtung wie folgt vor:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es nach Voraussetzung ein [mm] $x_{m_n}$ [/mm] der Folge mit [mm] $|x_{m_n} [/mm] - a| < [mm] \frac{1}{n}$. [/mm] Dann aber konvergiert die Folge [mm] $(x_{m_n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $a$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo nochmal!
also häufungswert haben wir wie folgt definiert: a ist häufungswert von [mm] a_{n}, [/mm] wenn [mm] a_{n} [/mm] eine teilfolge [mm] a_{n_{k}} [/mm] mit lim [mm] a_{n_{k}} [/mm] =a besitzt.
wenn ich das jetzt auf deine erklärung anwende, bedeutet das also, dass es laut obiger voraussetzung für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] a_{n_{k}} [/mm] der folge mit [mm] |a_{n_{k}} [/mm] -a | < 1/n.
wieso nimmst du hier 1/n?
und warum kann ich dann einfach daraus schließen, dass die folge [mm] a_{n_{k}} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] gegen a konvergiert?
und damit bin ich schon fertig?
sorry, aber ich bin anfänger!
lieben gruß
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Hallo Franzie,
> also häufungswert haben wir wie folgt definiert: a ist
> häufungswert von [mm]a_{n},[/mm] wenn [mm]a_{n}[/mm] eine teilfolge [mm]a_{n_{k}}[/mm]
> mit lim [mm]a_{n_{k}}[/mm] =a besitzt.
Damit gibt es in jeder Epsilon-Umgebung unendlich viele Folgeglieder. Das war die Hinrichtung. (Häufungswert [mm] \Rightarrow [/mm] in jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung gibt es unendlich viele Folgeglieder)
Die Rückrichtung hat Stefan eine solche Teilfolge konstruiert:
[mm] a_{n_k}= [/mm] ein beliebiges Element der Folge in einer [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Umgebung das nicht bereits in der Teilfolge drin ist. Das gibt es da ja unendlich viele Glieder der Folge in einer [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Umgebung von a enthalten sind.
> wenn ich das jetzt auf deine erklärung anwende, bedeutet
> das also, dass es laut obiger voraussetzung für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> ein [mm]a_{n_{k}}[/mm] der folge mit [mm]|a_{n_{k}}[/mm] -a | < 1/n.
> wieso nimmst du hier 1/n?
Weil man dann leicht direkt in die Definition von Konvergenz reingehen kann und zeigen das diese Teilfolge gegen a konvergiert.
viele Grüße
mathemaduenn
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