Häufungswert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 So 14.11.2010 | | Autor: | sanane |
Geben Sie für die Folgen alle reellen Häufungswerte an und entscheiden Sie jeweils, ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt. Begründen Sie alle Ihre Ergebnisse. Begründen Sie auch für den Fall, dass keine reellen Häufungswerte vorkommen.
[mm] an=1/23-2(-3)^n
[/mm]
ich habe jetzt ermittelt, dass diese folge unbestimmt divergent gegen unendlich ist, wäre das erstmal richtig?
die definition des Häufungpunktes verlangt ja dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen, das wär in diesem Fall ja nicht so, oder? ... :S... ich habe mir auf ihrer seite schon einige beispiele angeguckt, aber irgendwie versteh ich das nicht... also bitte hilft mir :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Geben Sie für die Folgen alle reellen Häufungswerte an
> und entscheiden Sie jeweils, ob Konvergenz oder Divergenz
> vorliegt. Begründen Sie alle Ihre Ergebnisse. Begründen
> Sie auch für den Fall, dass keine reellen Häufungswerte
> vorkommen.
>
> [mm]an=1/23-2(-3)^n[/mm]
>
> ich habe jetzt ermittelt, dass diese folge unbestimmt
> divergent gegen unendlich ist, wäre das erstmal richtig?
Den Ausdruck "unbestimmt divergent" habe ich ehrlich gesagt noch nicht gehört, richtig ist aber, dass die Folge divergiert. Um die Divergenz zu beweisen kannst du beispielsweise eine obere Schranke für den Betrag von [mm] $a_n$ [/mm] annehmen und dies zu einem Widerspruch führen.
> die definition des Häufungpunktes verlangt ja dass in
> jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen, das
> wär in diesem Fall ja nicht so, oder?
Richtig. Die Folge ist ja alternierend, da sich je nach Vorzeichen von $n$ das Vorzeichen von [mm] $2(-3)^n$ [/mm] ändert. nun kannst du die Folge in zwei Teilfolgen zerlegen (einmal n gerade und einmal n ungerade) und zeigen, dass diese Teilfolgen monoton steigend bzw. fallend sind und nicht beschränkt. Damit hast du gezeigt, dass es keine Häufungswerte geben kann.
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 14.11.2010 | | Autor: | sanane |
geht man eigentlich immer so vor, dass man dann für n jeweils eine gerade und ungerade zahl einsetzt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> geht man eigentlich immer so vor, dass man dann für n
> jeweils eine gerade und ungerade zahl einsetzt ?
Erstmal kann für n natürlich jede natürliche Zahl eingesetzt werden, um dann jeweils das Folgenglied [mm] $a_n$ [/mm] zu erhalten. Die Unterteilung in zwei Teilfolgen, eine für positive n und eine für negative n, macht hier Sinn, da n als Exponent einer negativen Zahl auftritt. Das Vorzeichen der Potenz ist damit eben $+$, wenn n gerade, und $-$, wenn n ungerade ist.
Man geht aber nicht generell bei der Untersuchung von Folgen so vor. Nur in diesem speziellen Fall macht es eben Sinn.
Viele Grüße, Lippel
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