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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 08.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
ein fitter Leistungskursler kam mit einer Frage, die ich ihm nicht beantworten konnte. Sein LK-Lehrer hat ihm die so als Zusatzaufgabe hingeworfen, wie ich meine, unüberlegt. Sie ist m.E. nicht lösbar. Was meint Ihr?
| Aufgabe | Gegeben sei eine beliebige Funktion g(x), [mm] x\in\IR. [/mm] Unter welchen Bedingungen gibt es eine Funktion [mm] f(x) [/mm], so dass gilt:
[mm] \a{}f(f(x))=g(x) [/mm] ? |
Soweit die Rekonstruktion. Tipp dazu war dieser: bearbeite erst einmal einfache Funktionen, $ g(x)=2x, [mm] x^2, e^x, \sin{x} [/mm] $ etc. Was erkennst Du daraus?
Vielleicht sehe ich ja nur den Wald mal wieder nicht, aber ich komme da auch nur bei zwei Beispielen auf einen grünen Zweig.
[mm] g(x)=2x\quad \Rightarrow\quad f(x)=\wurzel{2}x
[/mm]
[mm] g(x)=x^2\quad \Rightarrow\quad f(x)=x^{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] g(x)=e^x\quad \Rightarrow\quad[/mm] [mm] f(x)=??? [/mm]
Mal abgesehen davon, dass ich nicht an einen allgemeinen Lösungsweg glaube, der zu einer expliziten Formulierung von [mm] f(x) [/mm] führt - und z.B. bei [mm] g(x)=\sin{x} [/mm] oder [mm] g(x)=\cos{x} [/mm] gar kein passendes [mm] f(x) [/mm] existieren dürfte, nicht einmal, wenn man auf eine explizite Formulierung verzichtet - wurmt mich doch, dass ich nur bei den einfachsten [mm] g(x) [/mm] weiterkomme.
Hat jemand eine Idee, z.B. zu [mm] \red{g(x)=a^x}, [/mm] meinetwegen auch nur mit zusätzlichen Einschränkungen wie [mm] a>1, x>1 [/mm] ?
Herzliche Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 So 08.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Habe auch noch nix rausgefunden, aber dieses Problem hat jedenfalls nix mit [mm] $\IR$ [/mm] zu tun, sondern ist vielmehr ein mengentheoretisches Problem. Oder gibt es vielleicht zusätzliche Voraussetzungen (stetig, differenzierbar, etc.)?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 So 08.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Robert,
die Aufgabe ist nur mündlich gegeben, wohl ohne weitere Angaben.
Wenn man aber eine Lösung finden könnte, die Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit voraussetzt, so würde ich das unter die gesuchten Bedingungen fassen und damit als Teil der Lösung ansehen.
Vielleicht geht es aber ohne diese Annahme? Wäre [mm] g(x)=\tan{x} [/mm] im Sinne der Aufgabe als [mm] f(f(x))=\tan{x} [/mm] darstellbar, dann hätte man ja ein Gegenbeispiel...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 08.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Robert,
>
> die Aufgabe ist nur mündlich gegeben, wohl ohne weitere
> Angaben.
>
> Wenn man aber eine Lösung finden könnte, die Stetigkeit
> bzw. Differenzierbarkeit voraussetzt, so würde ich das
> unter die gesuchten Bedingungen fassen und damit als Teil
> der Lösung ansehen.
>
> Vielleicht geht es aber ohne diese Annahme? Wäre
> [mm]g(x)=\tan{x}[/mm] im Sinne der Aufgabe als [mm]f(f(x))=\tan{x}[/mm]
> darstellbar, dann hätte man ja ein Gegenbeispiel...
>
> Grüße
> reverend
Hallo,
könnte man mit Reihenentwicklungen irgendwas machen?
Sei f(x) [mm] =a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots
[/mm]
Dann ist [mm] f(f(x))=a_0+a_1*(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)+a_2*(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)^2 \cdots
[/mm]
Und jetzt ein Koeffizientenvergleich zwischen f(f(x)) und g(x)?
Das ist eine üble Rechnerei, die ich mir selbst nicht antun würde 
Aber vielleicht ist es eine Idee, die weiterhilft?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mo 09.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
danke für die Idee. Sieht aber wirklich nach, äh, erheblichem Rechenaufwand aus, wenn ich tatsächlich f(x) aus g(x) bestimmen soll. Vielleicht reichen ja die ersten drei Glieder, um eine bekannte Reihenentwicklung zu entdecken, die man dann auf anderem Wege leichter verifizieren kann, aber wenn nicht...?
Ich denk morgen mal weiter drüber nach.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mo 09.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Merle,
klasse Funde! Danke fürs googeln, ich hätte hier mal nicht gewusst, wonach ich eigentlich suchen soll.
Ich wühl mich mal durch und melde mich dann bei Gelegenheit wieder. Als Aufgabe für einen 12er LK scheint mir das aber übertrieben...
Vielleicht hat ja Robert doch recht, dass es nur um eine mengentheoretische Betrachtung geht.
Grüße und Dank,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Mo 09.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Merle,
>
> klasse Funde! Danke fürs googeln, ich hätte hier mal nicht
> gewusst, wonach ich eigentlich suchen soll.
>
> Ich wühl mich mal durch und melde mich dann bei Gelegenheit
> wieder. Als Aufgabe für einen 12er LK scheint mir das aber
> übertrieben...
Dieses Problem ist ein schwieriges Grundlagenproblem.
Ich fühle mich mal wieder bestätigt, dass es zu viele Mathematiklehrer gibt, die nichts in der Birne haben.
FRED
>
> Vielleicht hat ja Robert doch recht, dass es nur um eine
> mengentheoretische Betrachtung geht.
>
> Grüße und Dank,
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mo 09.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
ich höre sonst anderes über diesen Lehrer - eher vielversprechend. Er schafft es, Interesse und Begeisterung für Mathematik zu wecken, sogar bei Leuten, die sich bisher für fachlich unbegabt hielten.
Wahrscheinlich ist diese Aufgabe "nur" unsauber formuliert. Eine vollständige Lösung kann er doch wohl nicht erwarten. Vielleicht erwartet er ja gar nicht mehr von seinem Musterschüler, als dass er ein paar notwendige Bedingungen formuliert. Einige davon sind ja nicht schwer zu finden, bergen aber genügend Fallen, um noch eine Herausforderung zu bieten - so z.B. Definitions- und Wertebereich von f(x) und g(x).
Herzliche Grüße
reverend
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Eine Sammlung von Quellen.