Halbräume in eukl. VR < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (V,<.,.>) ein euklidischer Vektorraum und sei w [mm] \in [/mm] V, w [mm] \ne [/mm] 0. Das orthogonale Komplement von w bestimmt zwei Halräume [mm] E^{+} [/mm] und [mm] E^{-} [/mm] in V, wobei w [mm] \in E^{+}.
[/mm]
a) Charakterisieren Sie die Elemente der beiden Halbräume.
b) Sei [mm] \{v_1,...,v_k\} [/mm] eine Familie von Vektoren in E^+ mit [mm] \le [/mm] 0 für i [mm] \ne [/mm] j. Zeigen Sie, dass [mm] \{v_1,...,v_k\} [/mm] linear unabhängig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem besteht vor allem in der ersten Aufgabe. Ich verstehe einfach nicht, wie ich die Elemente charakterisieren kann.
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> Sei (V,<.,.>) ein euklidischer Vektorraum und sei w [mm]\in[/mm] V,
> w [mm]\ne[/mm] 0. Das orthogonale Komplement von w bestimmt zwei
> Halräume [mm]E^{+}[/mm] und [mm]E^{-}[/mm] in V, wobei w [mm]\in E^{+}.[/mm]
>
> a) Charakterisieren Sie die Elemente der beiden Halbräume.
> b) Sei [mm]\{v_1,...,v_k\}[/mm] eine Familie von Vektoren in E^+
> mit [mm] \le[/mm] 0 für i [mm]\ne[/mm] j. Zeigen Sie, dass
> [mm]\{v_1,...,v_k\}[/mm] linear unabhängig ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Mein Problem besteht vor allem in der ersten Aufgabe. Ich
> verstehe einfach nicht, wie ich die Elemente
> charakterisieren kann.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich nehme mal an, Du sollst etwas darüber erzählen, welche Winkel die Elemente v. [mm] E^{+} [/mm] bzw. [mm] E^{-} [/mm] mit w bilden.
Gruß v. Angela
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Huhu.
Danke ersteinmal. Das heißt ja konkret, dass alle Elemente in [mm] E^{+} [/mm] einen Winkel zwischen 0° und 90° bzgl. w haben müssen und die Elemente in [mm] E^{-} [/mm] einen Winkel zwischen 90° und 180°.
Das heißt [mm] E^{+} [/mm] = [mm] \{v \in V | \ge 0 \} [/mm] (für normierte Vektoren)
Wie aber kann ich nun die lineare Unabhängigkeit zeigen?
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> Huhu.
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> Danke ersteinmal. Das heißt ja konkret, dass alle Elemente
> in [mm]E^{+}[/mm] einen Winkel zwischen 0° und 90° bzgl. w haben
> müssen und die Elemente in [mm]E^{-}[/mm] einen Winkel zwischen 90°
> und 180°.
Hallo,
genau.
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> Das heißt [mm]E^{+}[/mm] = [mm]\{v \in V | \ge 0 \}[/mm] (für
> normierte Vektoren)
Nicht nur für normierte.
>
> Wie aber kann ich nun die lineare Unabhängigkeit zeigen?
Schreib erstmal auf, was Du dafür zeigen mußt.
Multipliziere dann die Startgleichung mal mit [mm] v_1. [/mm] Das sollte Dich auf eine Idee bingen.
Gruß v. Angela
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Also, ich möchte zeigen, dass wenn
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + ... + [mm] \lambda_k v_k [/mm] = 0
gilt, dass dann [mm] \lambda_1=...=\lambda_k=0
[/mm]
Die Gleichung mit [mm] v_1 [/mm] multipliziert ergibt:
[mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] \lambda_k [/mm] = 0
Genau das hatte ich jedoch schon versucht, wirklich damit weiter gekommen bin ich aber nicht.
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> Also, ich möchte zeigen, dass wenn
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> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2[/mm] + ... + [mm]\lambda_k v_k[/mm] = 0
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> gilt, dass dann [mm]\lambda_1=...=\lambda_k=0[/mm]
Hallo,
genau
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> Die Gleichung mit [mm]v_1[/mm] multipliziert ergibt:
>
> [mm]\lambda_1 [/mm] + [mm]\lambda_2 [/mm] + ... + [mm]\lambda_k [/mm]
> = 0
>
> Genau das hatte ich jedoch schon versucht, wirklich damit
> weiter gekommen bin ich aber nicht.
Nein?
Was ist denn über die [mm] v_i [/mm] vorausgesetzt? Die sollen doch aus [mm] E^{+} [/mm] sein mit einer besonderen Eigenschaft.
Gruß v. Angela
P.S.: Stell Folgefragen zu Antworten ruhig als "Frage", also roter Kasten. Das wird dann von den Usern als offene Fage wahrgenommen.
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Ich weiß folgendes:
Alle Vektoren [mm] v_i [/mm] sind ungleich 0 (ansonsten wären die Vektoren linear abhängig)
[mm] [/mm] > 0 (nach Definition des Skalarproduktes und [mm] v_1 \ne [/mm] 0) und [mm] \le [/mm] 0.
Das bringt mich aber noch nicht zu der Annahme, dass [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 (worauf man ja eigentlich hinaus will).
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> Das bringt mich aber noch nicht zu der Annahme, dass
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0 (worauf man ja eigentlich hinaus will).
Oh, entschuldige!
ich hatte mir gemerkt, daß [mm] [/mm] =0 sein soll.
Gruß v.Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 14.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Sa 12.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das heißt [mm]E^{+}[/mm] = [mm]\{v \in V | \ge 0 \}[/mm]
Ich denke es muss sogar [mm] $E^+=\{v\in V:\langle v,w\rangle\red{>}0\}$ [/mm] sein, denn sonst könnte man für Aufgabenteil b) ein Gegenbeispiel konstruieren:
Betrachte [mm] $V=\IR^2$, $w=e_1$, $v_1=e_2$ [/mm] und [mm] $v_2=-e_2$. [/mm] Dann ist [mm] $\langle v_i,w\rangle=0$, [/mm] also [mm] $v_i\in [/mm] E^+$ und [mm] $\langle v_1,v_2\rangle=-1\le [/mm] 0$, aber [mm] $\{v_i\}$ [/mm] nicht linear unabhängig.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Sa 12.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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