Halbstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Do 12.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich beschäftige mich mit dem Begriff der Halbstetigkeit. Ich möchte prüfen, ob ich die Definition der Vorlesung auch anschaulich richtig verstanden habe.
Dazu nehme ich mir eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(0)=a$ [mm] $a\in\IR$ [/mm] bel. aber fest und $f(x)=0$ für alle [mm] x\in\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Diese Funktion sollte doch oberhalbstetig nach Def. für ein [mm] a\ge0 [/mm] sein, denn [mm] $a=f(0)\ge\limsup_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=0$ [/mm] für jede Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] in [mm] \IR\setminus \{0\} [/mm] mit [mm] $a_n\to [/mm] 0$.
Anschaulich bedeutet das doch, dass der Funktionswert bei Annäherung an a höchstens nach oben springen kann, was er ja auch für a>0 tut (dann springt er über den limsup (Oder?)).
Kann mir das jemand bestätigen?
Kennt jemand noch ein schönes anschauliches und einfaches Beispiel?
Ich danke euch für eure Antworten. Falls ihr die Def. benötigt schicke ich sie noch mal.
MfG Ladon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 12.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ladon,
> Hallo,
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> ich beschäftige mich mit dem Begriff der Halbstetigkeit.
> Ich möchte prüfen, ob ich die Definition der Vorlesung
> auch anschaulich richtig verstanden habe.
> Dazu nehme ich mir eine Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit [mm]f(0)=a[/mm]
> [mm]a\in\IR[/mm] bel. aber fest und [mm]f(x)=0[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR\setminus\{0\}.[/mm]
> Diese Funktion sollte doch oberhalbstetig nach Def. für
> ein [mm]a\ge0[/mm] sein,
sogar für alle $a [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
> denn
> [mm]a=f(0)\ge\limsup_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=0[/mm] für jede
> Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR\setminus \{0\}[/mm] mit [mm]a_n\to 0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Ja: Es gilt doch für jede Folge ${(a_n)}_n}$ mit $0 \not=a_n \to 0$ sogar $f(a_n)=0 \to 0 \le a=f(0)\,.$
> Anschaulich bedeutet das doch, dass der Funktionswert bei
> Annäherung an a höchstens nach oben springen kann, was er
> ja auch für a>0 tut (dann springt er über den limsup
> (Oder?)).
Sagen wir's lieber so: Wenn wir punktierte Umgebungen von $x_0=0\,$ betrachten,
so können wir es erreichen, dass die Funktion auf einer solchen Umgebung
"höchstens minimal ($\epsilon > 0$!) über dem Funktionswert $f(x_0)\,$ liegen,
wenn wir sie (die Umgebung) hinreichend klein machen (ggf. 'schrumpfen')".
Anders gesagt: Bei Annäherung von $x\not=x_0\,$ an $x_0$ liegt, wenn $x\,$ "nur genügend nahe
bei $x_0$ liegt", der Funktionswert $f(x)$ entweder (nicht notwendig echt) unterhalb
von $f(x_0),$ oder aber er liegt nur "minimal" drüber. Und dieses "minimal drüber"
liegen kann "verbessert werden", wenn man $x\,$ noch näher an $x_0$ zwingt.
> Kann mir das jemand bestätigen?
> Kennt jemand noch ein schönes anschauliches und einfaches
> Beispiel?
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Halbstetigkeit
Ein anderes Beispiel: Betrachte einfach mal
[mm] $f:=\;-\;\mathds{1}_{\IQ}+\text{id}_{\IR}\,.$
[/mm]
Diese Funktion ist oberhalbstetig in [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] Du siehst aber: In einer jeden
Umgebung von [mm] $x_0=0$ [/mm] wird [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] "übertroffen".
Und wenn Du es noch ein wenig anders haben willst:
[mm] $g(x):=(|x|-1)*\mathds{1}_{\IQ}(x)+x\cdot \sin(1/x)$ [/mm] mit [mm] $g(0):=0\,.$
[/mm]
Auch hier geht's um die Oberhalbstetigkeit in [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Tipp:
Die Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] bzw. von [mm] $g\,$ [/mm] sind nicht besonders anschaulich - sie werden
"anschaulicher", wenn Du Dir die Graphen unterteilst. Es gilt
[mm] $f=f_{|\IQ}+f_{|\IR \setminus \IQ}=f\cdot \mathds{1}_{\IQ}+f \cdot \mathds{1}_{\IR \setminus \IQ}\,,$ [/mm]
und analoges gilt für [mm] $g\,.$ [/mm] Und die Graphen von [mm] $f_{|\IQ}$ [/mm] bzw. [mm] $f_{|\IR \setminus \IQ}$
[/mm]
sind wieder "anschaulich"!
(P.S. Beachte aber, dass etwa [mm] $f_{|\IQ} \not=f \cdot \mathds{1}_{\IQ}$ [/mm] - sondern es gilt
[mm] $f_{|\IQ}={(f \cdot \mathds{1}_{\IQ})}_{|\IQ}.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Do 12.09.2013 | | Autor: | Ladon |
Vielen Dank für deine Erklärung und schönen Bsp.
MfG
Ladon
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