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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 13.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | 1) Ein Auto verliert pro Jahr 15% an Wert. In welchem Zeitraum sinkt der erzeitige Wert des Autos um die Hälfte?
2) Ein Kapital verdoppelt sich in 12 Jahren. Welcher jährliche Zinssatz liegt zugrunde? |
Hallo nochmals^^
zu 1: Gesucht: [mm] T_{H}
[/mm]
[mm] p=\bruch{15}{100} [/mm] ; [mm] k=ln(1-\bruch{15}{100})\approx-0,16
[/mm]
[mm] T_{H}=-\bruch{ln(2)}{ln(1-\bruch{15}{100})}\approx4,3
[/mm]
ist das soweit richtig?
zu 2: damit bin ich irgendwie nich so ganz klar gekommen. Das ist doch eigentlich die 1 Aufgabe rückwerts, oder?
hab das so gemacht:
[mm] T_{V}=12
[/mm]
[mm] k=T_{V}*ln(2)
[/mm]
=12*ln(2)
[mm] \approx [/mm] 8,32
[mm] p=100*(e^{k}-1)
[/mm]
[mm] =100*(e^{12*ln(2)}-1)
[/mm]
das kann aber irgendwie nicht sein.
wär ganz lieb wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß Karlchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 13.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Karl
Wenn du mit all den fertigen Formeln rechnest, wirst du immer wieder durcheinander kommen.
aber ich zeig dir mal trotzdem wie es damit geht:
> 1) Ein Auto verliert pro Jahr 15% an Wert. In welchem
> Zeitraum sinkt der erzeitige Wert des Autos um die Hälfte?
>
> 2) Ein Kapital verdoppelt sich in 12 Jahren. Welcher
> jährliche Zinssatz liegt zugrunde?
> Hallo nochmals^^
>
> zu 1: Gesucht: [mm]T_{H}[/mm]
>
> [mm]p=\bruch{15}{100}[/mm] ; [mm]k=ln(1-\bruch{15}{100})\approx-0,16[/mm]
>
> [mm]T_{H}=-\bruch{ln(2)}{ln(1-\bruch{15}{100})}\approx4,3[/mm]
hier hast du richtig:
[mm] T_H=-ln2/k [/mm] und k=ln(1-p)
> ist das soweit richtig?
Ja
> zu 2: damit bin ich irgendwie nich so ganz klar gekommen.
> Das ist doch eigentlich die 1 Aufgabe rückwerts, oder?
>
> hab das so gemacht:
>
> [mm]T_{V}=12[/mm]
>
> [mm]k=T_{V}*ln(2)[/mm]
Das ist falsch, wie oben:
[mm] T_V=ln2/k [/mm] damit [mm] k*T_V=ln2 [/mm] oder 12*ln(1+p)=ln2
daraus [mm] ln(1+p)^{12}=ln2
[/mm]
[mm] (1+p)^{12}=2
[/mm]
Der Rest ist dann hoffentlich klar.
> =12*ln(2)
> [mm]\approx[/mm] 8,32
>
> [mm]p=100*(e^{k}-1)[/mm]
selbst mit dem Fehler oben, wo kommt die Gleichung her?
> [mm]=100*(e^{12*ln(2)}-1)[/mm]
besser wär du würdest immer am Anfang anfangen:
[mm] K=K_0*e^{k*t} [/mm] t=12 [mm] K=2K_0
[/mm]
also: [mm] 2*K_0=K_0*e^{k*12}
[/mm]
[mm] 2=e^{k*12}
[/mm]
ln2=k*12 k=ln2/12
jetzt in 1 [mm] Jahr_t=1 K=K_0*(1+p)
[/mm]
also [mm] 1+p=e^{1/12*ln2}
[/mm]
daraus dann das Ergebnis oben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Di 13.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
Hallo!
Danke erst einmal für deine Mühe, echt...aber irgendwie will das alles noch nich in meinen Kopf, also:
> > [mm]k=T_{V}*ln(2)[/mm]
> Das ist falsch, wie oben:
> [mm]T_V=ln2/k[/mm] damit [mm]k*T_V=ln2[/mm] oder 12*ln(1+p)=ln2
> daraus [mm]ln(1+p)^{12}=ln2[/mm]
> [mm](1+p)^{12}=2[/mm]
> Der Rest ist dann hoffentlich klar.
also bis hierhin ist mir das klar, aber wie komme ich denn jetzt auf p? also ich weiß, dass ich nach p auflösen muss, hab aber keinen blassen schimmer wie.
> > [mm]p=100*(e^{k}-1)[/mm]
> selbst mit dem Fehler oben, wo kommt die Gleichung her?
> > [mm]=100*(e^{12*ln(2)}-1)[/mm]
außem buch^^, ich wusste ja nich, wie ich auf p kommen soll, deswegen hab ich die Gleichung einfach übernommen.
> besser wär du würdest immer am Anfang anfangen:
> [mm]K=K_0*e^{k*t}[/mm] t=12 [mm]K=2K_0[/mm]
> also: [mm]2*K_0=K_0*e^{k*12}[/mm]
> [mm]2=e^{k*12}[/mm]
> ln2=k*12 k=ln2/12
bis hier komm ich noch mit, aber wie du von
> jetzt in 1 [mm]Jahr_t=1 K=K_0*(1+p)[/mm]
diesem Schritt
> also [mm]1+p=e^{1/12*ln2}[/mm]
zu diesem kommst, verstehe ich nicht.
Gruß Karlchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mi 14.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus [mm] (1+p)^{12}=2 [/mm] folgt [mm] 1+p=2^{1/12} [/mm] oder [mm] 1+p=\wurzel[12]{2}.
[/mm]
Wenn du 1+p hast findest du wohl p (zur Kontrolle p ist ca 6%)
> > besser wär du würdest immer am Anfang anfangen:
> > [mm]K=K_0*e^{k*t}[/mm] t=12 [mm]K=2K_0[/mm]
> > also: [mm]2*K_0=K_0*e^{k*12}[/mm]
> > [mm]2=e^{k*12}[/mm]
> > ln2=k*12 k=ln2/12
>
> bis hier komm ich noch mit, aber wie du von
>
> > jetzt in 1 [mm]Jahr_t=1 K=K_0*(1+p)[/mm]
> diesem Schritt
in einem Jahr vermehrt sich doch [mm] K_0 [/mm] um [mm] p*K_0 [/mm] also ist es nach einem Jahr
[mm] (1+p)*K_0 [/mm]
damit ist [mm] K(1jahr)=(1+p)*K_0
[/mm]
für t 1 eingesetzt gibt: K(1)= [mm] (1+p)*K_0=K_0*e^{1/12*ln2*1}
[/mm]
durch [mm] K_0 [/mm] dividiert hast du die Gleichung:
[mm] 1+p=e^{1/12*ln2}
[/mm]
daraus in deinem Buch [mm] p=e^k-1 [/mm] und wenn du p in % angibst musst du die 0,06 noch mit 100 multipl. 0,06*100=6. Das bedeutet wohl der Faktor 100 in deinem Buch.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
Hallo!
ach darauf hätte ich eigentlich auch kommen müssen, ich wusste, dass ich von irgendwas die 12. Wurzel ziehen musste, aber warum ich nich auf 2 gekommen bin...kein ahnung^^ Danke jedenfalls, jez is mir so einiges klar^^
Gruß Karlchen
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