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Forum "Zahlentheorie" - Harmonisch<=Geometrisch
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Harmonisch<=Geometrisch: Beweis der Aussage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Mo 02.11.2009
Autor: Reen1205

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,

ich stecke bei dem Beweis fest. Den Beweis für Geomtrisch<=Arithmetisches Mittel habe ich geschafft. Aber der andere schafft mich. Zeige mal eben wo es hakt. [mm] \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} <= \wurzel{ab}[/mm]
So ich hoffe, dass ich durch richtige Umformungen jetzt zu dieser Aussage komme, bei der ich jetzt wahrscheinlich Tomaten auf den Augen habe. [mm] 0<=ab(a^2-4ab+b^2) [/mm]
Wäre sehr dankbar für einen kleinen Hinweis, was ich übersehe.
Dankeschön

René

        
Bezug
Harmonisch<=Geometrisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Mo 02.11.2009
Autor: fred97


> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Hallo,
>  
> ich stecke bei dem Beweis fest. Den Beweis für
> Geomtrisch<=Arithmetisches Mittel habe ich geschafft. Aber
> der andere schafft mich. Zeige mal eben wo es hakt.
> [mm]\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} <= \wurzel{ab}[/mm]
>   So ich
> hoffe, dass ich durch richtige Umformungen jetzt zu dieser
> Aussage komme, bei der ich jetzt wahrscheinlich Tomaten auf
> den Augen habe. [mm]0<=ab(a^2-4ab+b^2)[/mm]

Rechne nochmal. Ich komme auf

[mm]0 \le ab(a^2-2ab+b^2)[/mm] . Das ist gleichbedeutend mit

[mm]0 \le ab(a-b)^2[/mm]



FRED



> Wäre sehr dankbar für einen kleinen Hinweis, was ich
> übersehe.
>  Dankeschön
>  
> René


Bezug
                
Bezug
Harmonisch<=Geometrisch: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Mo 02.11.2009
Autor: Reen1205

Ahja, klassisch verrechnet.

Und mit [mm] 0<=ab(a-b)^2 [/mm] mit ||*1/ab auf beiden Seiten kommen wir dann wieder auf das gewünschte [mm] a=b[/mm]? Oder nicht?!



Bezug
                        
Bezug
Harmonisch<=Geometrisch: bereits fast fertig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 02.11.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Reen!


Warum willst Du denn noch umformen? Mit der Bedingung $a,b \ > \ 0$ hast Du doch bereits eine wunderschöne wahre Aussage.


Gruß vom
Roadrunner


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