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Harmonische Abb., Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Di 28.06.2005
Autor: Wurzelpi

Hallo zusammen!

Ich sitze vor einer scheinbar leichten Aufgabe, finde aber keinen rechten Ansatz.

Ich soll folgendes zeigen:
[mm]a:U->\IC[/mm] sei eine harmonische Abbildung, [mm]z\in U[/mm], U offen.
Dann gibt es eine offene Umgebung V von z in U un eine harmonische Abbildung [mm]b:V->\IR[/mm], so dass [mm]a+ib:V->\IC[/mm] holomorph ist.

Ich hoffe, dass mir jemand einen Wink mit dem Zaunpfahl geben kann.

Vielen Dank schon einmal vorab!



        
Bezug
Harmonische Abb., Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mi 29.06.2005
Autor: Julius

Hallo Wurzelpi!

Man könnte es mit dem Lemma von Poincaré direkt lösen, aber so ist es wohl nicht gedacht.

Also, machen wir es elementar:

Nach Voraussetzung ist [mm] $f:=\frac{\partial a}{\partial x} [/mm] - [mm] i\frac{\partial a}{\partial y}$ [/mm] holomorph auf $U$ (Tipp: Cauchy-Riemann), besitzt also lokal eine Stammfunktion $F=u+iv$. Nun noch einmal Cauchy-Riemann auf $F$ anwenden und vergleichen.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Harmonische Abb., Holomorphie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mi 29.06.2005
Autor: Wurzelpi

Hallo Julius!

Vielen Dank für Deine Antwort.
Leider kann ich das nicht so schnell nachvollziehen, wie Du dein Folgerungen vollziehst.

Zunächst definierst Du eine Funktion f aus der gegebenen harmonischen Funktion a wie folgt: [mm]f:=\frac{\partial a}{\partial x} - i\frac{\partial a}{\partial y}[/mm]. Ist es richtig, dass Du damit die partielle Ableitung von a nach x meinst?
In unserer Notation wäre das [mm]a_x[/mm]. Also: [mm]f:=a_x-ia_y=a_x+i(-a_y)[/mm].

Da a eine harmonische Funktion ist, ist a reell stetig diff´bar und insbesondere reell diff´bar.
Wenn dann die Cauchy-Riemann´schen Differentialgleichungen gelten, dann ist die def. Funktion f holomorph.
Überprüfe die CR-DGLn:
[mm]a_{xx}=-a_{yy}[/mm], da a harmonisch ist und
[mm]a_{xy}=a_{yx}[/mm], da a bel. oft und damit insbesondere zweimal stetig diff´bar ist und somit der Satz von Schwarz gilt.

Also ist f holomoph.
Dann folgerst Du, dass f lokal eine Stammfunktion besitzt.
Diese Folgerung kenne ich so nicht. Kannst Du mir das begründen?
Danach weiss ich auch nicht so recht, wie ich ein harmonisches b finden kann?
Kannst Du mir das noch etwas ausführlicher erklären?

Vielen dank!





Bezug
                        
Bezug
Harmonische Abb., Holomorphie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Fr 01.07.2005
Autor: Julius

Hallo Wurzelpi!

> Zunächst definierst Du eine Funktion f aus der gegebenen
> harmonischen Funktion a wie folgt: [mm]f:=\frac{\partial a}{\partial x} - i\frac{\partial a}{\partial y}[/mm].
> Ist es richtig, dass Du damit die partielle Ableitung von a
> nach x meinst?

[ok]

>  In unserer Notation wäre das [mm]a_x[/mm]. Also:
> [mm]f:=a_x-ia_y=a_x+i(-a_y)[/mm].
>  
> Da a eine harmonische Funktion ist, ist a reell stetig
> diff´bar und insbesondere reell diff´bar.
>  Wenn dann die Cauchy-Riemann´schen Differentialgleichungen
> gelten, dann ist die def. Funktion f holomorph.
>  Überprüfe die CR-DGLn:
>  [mm]a_{xx}=-a_{yy}[/mm], da a harmonisch ist und
>  [mm]a_{xy}=a_{yx}[/mm], da a bel. oft und damit insbesondere
> zweimal stetig diff´bar ist und somit der Satz von Schwarz
> gilt.
>  
> Also ist f holomoph.

[ok]

>  Dann folgerst Du, dass f lokal eine Stammfunktion
> besitzt.
>  Diese Folgerung kenne ich so nicht. Kannst Du mir das
> begründen?

Dies folgt aus den Sätzen von Goursat und Morera. Die beiden Eigenschaften "lokale Stammfunktionen besitzen" und "holomorph sein" sind äquivalent, das findest du in jedem Funktionentheoriebuch/-skript.

>  Danach weiss ich auch nicht so recht, wie ich ein
> harmonisches b finden kann?
>  Kannst Du mir das noch etwas ausführlicher erklären?

Es gilt:

[mm] $v_y [/mm] - [mm] iu_y [/mm] = [mm] u_x [/mm] + [mm] iv_x =F'=f=a_x-ia_y$, [/mm]

also:

[mm] $a_x=u_x$ [/mm] und [mm] $a_y=u_y$. [/mm]

Somit unterscheiden sich $a$ und $u$ nur um eine Konstante, und daher ist mit $F=u+iv$ auch

$a+iv$

holomorph.

Viele Grüße
Julius




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