Harmonische Funktion gesucht < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 16.10.2012 | | Autor: | Blaubart |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für [mm] n\not= [/mm] 2 gibt es genau einen Exponenten [mm] p_{n} \in \IR, p_{n} \not= [/mm] 0, für den die Funktion
f: [mm] \IR ^{n}\setminus{0} \to \IR, f(x_{1},. [/mm] . ., [mm] x_{n}) :=(x^{2}_{1}+. [/mm] . [mm] .+x^{2}_{n})^{p_{n}}
[/mm]
harmonisch ist. |
Hallo,
ich weiß das [mm] p_{n} [/mm] für jedes n variiert. Durch ausprobieren kam ich auf folgendes:
n=1: [mm] p_{n}= [/mm] 1/2
n=3_ [mm] p_{n}=-1/2
[/mm]
n=4: [mm] p_{n}= [/mm] -2/2
n=5: [mm] p_{n}= [/mm] -3/2
Daraus bastelte ich mir also diese Formel daraus:
1-n/2= [mm] p_{n}
[/mm]
Ich bin ziemlich Glücklich mit der. Nur ein wirklicher Beweis der Formel fällt mir schwer. Meine Versuche mit der vollständigen Induktion waren eher fruchtlos. Klappt das überhaupt damit? Über eine kleine Anregung würde ich mich freuen.
Gruß Blaubart
|
|
| |
|
Hiho,
zweite Ableitung bilden, Null setzen, nach [mm] p_n [/mm] umstellen, fertig.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
