Harmonische Funktion nachweise < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass [mm] g_n [/mm] : [mm] \IR^n [/mm] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] g_n(x)=\begin{cases} ln(||y||), & \mbox{für } n \mbox = 2 \\ ||x||^{2-n}, & \mbox{für } n \mbox > 2 \end{cases} [/mm] harmonisch ist. |
Hallo,
um die Harmonie der Funktion nachzuweisen, muss sie im Kern des LaPlace-Operators liegen, d.h. ich würde eine Fallunterscheidung (n = oder größer 2) vornehmen und würde für beides den LaPlace-Operator ausschreiben, im zweiten Fall also eine Summe bis n. Für den 1. Fall (n=2)
[mm] \bruch{\partial^2ln(||x,y||)}{\partial x^2} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2ln(||x,y||)}{\partial y^2} [/mm] = 0 , oder?
Mir ist nun einfach nicht klar, wie ich eigentlich die 2te Ableitung nach x, bzw. y bewerkstelligen soll, wie ich also mit der norm zu verfahren hab. Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie das geht und, ob es soweit ein korrektes vorgehen ist.
Vielen Dank im voraus.
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Dafür musst du dir nur überlegen, wie denn die Norm eines Vektors im [mm] R^2 [/mm] bzw. im [mm] R^n [/mm] definiert ist.
Das ganze setzt du nun in deine Funktion ein und kannst mittels Kettenregel die Ableitungen ausrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 07.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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