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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Sa 19.12.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n}-1} \bruch{1}{k} \le [/mm] n |
Meine Ideen:
IV: gelte für beliebiges, aber festes n [mm] \varepsilon \IN [/mm] .
IA: für n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1} [/mm] = 1 = 1 (w)
IS: n -> n+1
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}-1} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}-1} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \le [/mm] n + [mm] \bruch{1}{n} \le [/mm] n+1
Ich weiß nicht, ob der letzte Schritt so sein kann. Ich habe versucht, den letzten Schritt abzuschätzen, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich das darf, denn ich komme irgendwie nicht von n + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] auf n+1, was ja rauskommen muss.
Muss ich irgendwie mit der oberen Summengrenze [mm] 2^{n}-1 [/mm] arbeiten, weil normal steht da ja n (zumindest bei Aufgaben, die ich bisher gerechnet habe) und diese Grenze hat mich dann doch etwas verwundert, aber wie das genau geht, weiß ich nicht genau. Ich hoffe, jemand kann mir behilflich sein.
LG, Tabs2000
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Hallo,
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}-1} \bruch{1}{k} \le[/mm] n
> Meine Ideen:
>
> IV: gelte für beliebiges, aber festes n [mm]\varepsilon \IN[/mm] .
>
> IA: für n=1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}[/mm] = 1 = 1 (w)
Fehlt ein [mm]\frac{1}{k}[/mm] in der SUmme ...
>
> IS: n -> n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}-1} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}-1} \bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
?? Wieso [mm]+\frac{1}{n}[/mm]
Und wieso so sparsam im Aufschrieb?
IV: [mm]n\in\IN[/mm] fest und [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} \ \leq \ n[/mm]
Dann ist zu zeigen:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{\red{n+1}}-1}\frac{1}{k} \ \leq \ \red{n+1}[/mm]
Deine Idee, die Summe aufzusapalten, um auf einen Teil die IV anzuwenden, ist gut!
[mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \ = \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} \ \right) \ + \ \left( \ \sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \ \right)[/mm]
[mm]\leq n \ + \ \left( \ \sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \ \right)[/mm] nach IV
Schreiben wir die verbleibende Summe mal etwas aus:
[mm]=n \ + \ \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-2}+\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)[/mm]
Von den Summanden in der Klammer ist [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] der größte.
Also kannst du abschätzen:
[mm]\leq n \ + \ \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}+\ldots{}+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}\right)[/mm]
Nun die Preisfrage an dich:
Wieviele Summanden stecken denn in dieser Summe?
>
> [mm]\le[/mm] n + [mm]\bruch{1}{n} \le[/mm] n+1
>
> Ich weiß nicht, ob der letzte Schritt so sein kann. Ich
> habe versucht, den letzten Schritt abzuschätzen, aber ich
> bin mir nicht sicher, ob ich das darf, denn ich komme
> irgendwie nicht von n + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] auf n+1, was ja
> rauskommen muss.
> Muss ich irgendwie mit der oberen Summengrenze [mm]2^{n}-1[/mm]
> arbeiten, weil normal steht da ja n (zumindest bei
> Aufgaben, die ich bisher gerechnet habe) und diese Grenze
> hat mich dann doch etwas verwundert, aber wie das genau
> geht, weiß ich nicht genau. Ich hoffe, jemand kann mir
> behilflich sein.
>
> LG, Tabs2000
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Sa 19.12.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
Jetzt sehe ich, wo mein Fehler lag. Eine Frage:
Wir kommst du auf die untere und die obere Grenze von [mm] \summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} \bruch{1}{k} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Jetzt sehe ich, wo mein Fehler lag. Eine Frage:
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> Wir kommst du auf die untere und die obere Grenze von
> [mm]\summe_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} \bruch{1}{k}[/mm] ?
Na, die ursprüngliche SUmme läuft doch von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=2^{n+1}-1[/mm]
Und wir wollen die IV anwenden, müssen also irgendwie in die Summe von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=2^n-1[/mm] und den Rest aufspalten
Und wenn ich statt von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=2^{n+1}-1[/mm] erstmal "nur" bis [mm]k=2^n-1[/mm] gehe, muss ich die restlichen Summanden, also die für [mm]k=2^n-1\red{+1}[/mm] bis [mm]k=2^{+1}-1[/mm] noch dranschreiben.
Das liefert mir die hintere Summe von [mm]k=2^n-1+1=2^n[/mm] bis [mm]k=2^{n+1}-1[/mm]
Mal einfacher:
Wenn ich ne Summe von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=10[/mm] habe und die in einen Teil bis [mm]k=5[/mm] und den Rest aufteilen will, läuft die erste Summe von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=5[/mm] und der Rest von [mm]k=5+1=6[/mm] bis [mm]k=10[/mm]
Hier konkret war die obere Grenze der ersten Summe [mm]2^n-1[/mm], also geht die nächste Summe genau bei der nächsten Zahl los, das ist [mm]k=2^n[/mm] - und läuft dann bis zum Ende ([mm]k=2^{n+1}-1[/mm])
War das halbwegs verständlich? ;_)
Schönes Restwochenende!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Sa 19.12.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
Logisch :)
Super. Vielen Dank !
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