Harmonischer Oszillator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Mo 18.06.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | [mm] \textbf{Harmonischer Oszillator (gedämpft)}\\
[/mm]
Die Diff.gleichung des gedämpften harmonischen Oszillators mit period. Anregung ist:
$y'' + [mm] 2\mu [/mm] y' + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] y = [mm] cos(\omega [/mm] t)$
Zusätzlich gelte $0 [mm] \leq \mu [/mm] < [mm] \omega_{0}$. [/mm] Berechne für alle Werte [mm] $\omega [/mm] > 0$ die Lösungsgesamtheit. Gibt es Wahlen von [mm] $\mu$, $\omega$ [/mm] und [mm] $\omega_{0}$, [/mm] für welche die Differentialgleichung unbeschränkte Lösungen besitzt? |
Irgendwie komm ich hier überhaupt nicht vorwärts und weiß auch nicht richtig wie ich mit der Aufgabe umgehen soll. Hätte als Ansatz irgendwie, dass man erstmal die homogene Differentialgleichung löst, lautet die dann einfach:
$y'' + y' + y = [mm] 0$\\
[/mm]
Oder wie zieht man das jetzt auseinander mit den ganzen griechischen Buchstaben?
P.S.: Klingt vielleicht bisschen blöd, aber ich bin dankbar für soviele Tipps wie möglich, so dass ich hier evtl. nicht den ganzen Tag an der Aufgabe sitze und noch Zeit hab mich auf die Klausuren vorzubereiten, die bald anstehen.
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> [mm]\textbf{Harmonischer Oszillator mit periodischer Anstrengung}\\[/mm]
>
>
> Die Diff.gleichung des gedämpften harmonischen Oszillators
> mit periodischer Anstrengung ist:
>
> [mm]y'' + 2\mu y' + \omega_{0}^{2} y = cos(\omega x)[/mm]
>
> Zusätzlich gelte [mm]0 \leq \mu < \omega_{0}[/mm]. Berechne für
> alle Werte [mm]\omega > 0[/mm] die Lösungsgesamtheit. Gibt es
> Wahlen von [mm]\mu[/mm], [mm]\omega[/mm] und [mm]\omega_{0}[/mm], für welche die
> Differentialgleichung unbeschränkte Lösungen besitzt?
Du hast eine DGL 2. Ordnung, wo die Koeffizienten konstant sind.
Ähnlich diesem Schema: y''+ay'+by=0
Löse also die charakteristiche Gleichung. Und nutze den Eulerschen Ansatz um Lösungen zu erhalten. Die Einschränkung [mm]0 \leq \mu < \omega_{0}[/mm] sichert dir nur, dass es eventuell keine komplexen Lösungen gibt, oder eben dass es nur komplexe Lösungen gibt - je nachdem, wie sich diese zwei Werte unter der Wurzel verhalten.
Also:
1. homogene DGL lösen über charakteristische Gleichung.
2. inhomogene Lösung erarbeiten durch einen Ansatz à la: [mm] y=Atsin(\omega{t}+B) [/mm] (das wird vermutlich am meisten Zeit kosten)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 18.06.2012 | | Autor: | ggT |
So also bisher habe ich folgendes: [mm] \\
[/mm]
$y'' + [mm] 2\mu [/mm] y' + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] y = [mm] cos(\omega t)$\\
[/mm]
Es ergibt sich folgende homogene Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y'' + [mm] 2\mu [/mm] y' + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] y = [mm] 0$\\
[/mm]
Dann betrachte ich folgenden Ansatz: $y = [mm] e^{\lambda t}$\\
[/mm]
Das ergibt nun: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{\lambda t}$, [/mm] $y' = [mm] \lambda e^{\lambda t}$, [/mm] $y = [mm] \lambda^{2} e^{\lambda t}$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} e^{\lambda t} [/mm] + [mm] 2\mu \lambda e^{\lambda t} [/mm] + [mm] \omega_{0}^{2} e^{\lambda t} [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{\lambda t}*(\lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\mu \lambda [/mm] + [mm] \omega_{0}^{2}) [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\mu \lambda [/mm] + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
Anwendung der pq-Formel: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = [mm] -\dfrac{2\mu}{2} \pm \sqrt{(-\dfrac{2\mu}{2})^{2} - \omega_{0}^{2}}$\\
[/mm]
[mm] $\quad \quad [/mm] = [mm] -\mu \pm \sqrt{\mu^{2} - \omega_{0}^{2}}$\\
[/mm]
Inwiefern ist das, was ich hier gemacht hab richtig?
Wie lautet jetzt die allgemeine Gleichung, bin etwas verwirrt, weil [mm] $\lambda$ [/mm] diesmal gar kein Zahlenwert ist und welche Konstanten habe ich da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 18.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bisher ist alles richtig. jetzt weißt du [mm] \omega_0^2>\mu^2
[/mm]
also ist die wurzel imaginär
du hast die Lösung [mm] y=e^{-\mu*t}*(C1*e^{i\wurzel{\omega_0^2-\mu^2}}+C1*e^{-i\wurzel{\omega_0^2-\mu^2}}
[/mm]
oder entsprechend sin und cos statt [mm] e^{i..}
[/mm]
für die homogene. nun eine Lösung für die inhomogene mit einem entsprechenden Ansatz [mm] Acos(\omega*t)+Bsin( \omega*t) [/mm] oder [mm] C*cos(\omega*t+\phi)
[/mm]
oder einen entsprechenden ansatz mit den kompl e fkt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 18.06.2012 | | Autor: | ggT |
So also bisher habe ich folgendes: [mm] \\
[/mm]
$y'' + [mm] 2\mu [/mm] y' + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] y = [mm] cos(\omega t)$\\
[/mm]
Es ergibt sich folgende homogene Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y'' + [mm] 2\mu [/mm] y' + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] y = [mm] 0$\\
[/mm]
Dann betrachte ich folgenden Ansatz: $y = [mm] e^{\lambda t}$\\
[/mm]
Das ergibt nun: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{\lambda t}$, [/mm] $y' = [mm] \lambda e^{\lambda t}$, [/mm] $y = [mm] \lambda^{2} e^{\lambda t}$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} e^{\lambda t} [/mm] + [mm] 2\mu \lambda e^{\lambda t} [/mm] + [mm] \omega_{0}^{2} e^{\lambda t} [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{\lambda t}*(\lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\mu \lambda [/mm] + [mm] \omega_{0}^{2}) [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\mu \lambda [/mm] + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] = [mm] 0$\\
[/mm]
Anwendung der pq-Formel: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = [mm] -\dfrac{2\mu}{2} \pm \sqrt{(-\dfrac{2\mu}{2})^{2} - \omega_{0}^{2}}$\\
[/mm]
[mm] $\quad \quad [/mm] = [mm] -\mu \pm \sqrt{\mu^{2} - \omega_{0}^{2}}$\\
[/mm]
[mm] ---------------\\
[/mm]
NEU: (hab paar Sachen im Buch und im Internet gefunden, hoffe das ist soweit auch übertragbar) [mm] \\
[/mm]
Da also [mm] $\mu [/mm] < [mm] \omega_{0}$ [/mm] ist, bewegen wir uns in den komplexen Zahlen: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{-\mu t}*(c_{1}*e^{i\sqrt{\omega_{0}^{2}-\mu^{2}}t}+c_{2}*e^{-i\sqrt{\omega_{0}^{2}-\mu^{2}}t})$\\
[/mm]
$y = [mm] e^{-\mu t}*(c_{1}*cos((\omega_{0}^{2}-\mu^{2})t)+c_{2}*sin((\omega_{0}^{2}-\mu^{2})t))$\\
[/mm]
Ansatz für inhomogene Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
[mm] $y_{p} [/mm] = [mm] Acos(\omega [/mm] t) + [mm] Bsin(\omega t)$\\
[/mm]
Ableitungen bestimmen: [mm] \\
[/mm]
$y' = [mm] -\omega Asin(\omega [/mm] t) + [mm] \omega Bcos(\omega t)$\\
[/mm]
$y'' = [mm] -\omega^{2} Acos(\omega [/mm] t) - [mm] \omega^{2} Bsin(\omega t)$\\
[/mm]
Jetzt das Ganze in die Ausgangsdiff.gleichung einsetzen: [mm] \\
[/mm]
[mm] $[-\omega^{2} Acos(\omega [/mm] t) - [mm] \omega^{2} Bsin(\omega [/mm] t)] + [mm] \mu [/mm] * [mm] [-\omega Asin(\omega [/mm] t) + [mm] \omega Bcos(\omega [/mm] t)] + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] * [mm] [Acos(\omega [/mm] t) + [mm] Bsin(\omega [/mm] t)] = [mm] cos(\omega t)$\\
[/mm]
Wie sieht es nun bis dahin aus? [mm] \\
[/mm]
Als nächstes käme in meinem Buch was mit Komponenten vergleichen, das verstehe ich aber nicht, wie das geht. [mm] \\
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 18.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser dass bei [mm] \mu [/mm] die 2 Fehlt richtig.
rechts steht [mm] 1*cos(\omega*t) +0*sin(\omega*t) [/mm]
links
[mm] (.....)*cos(\omega*t)+(....)sin(\omega*t)
[/mm]
das muss für alle t richtig sein, also müssen die vorfaktoren vor sin und cos links und rechts die gleichen sein. oder du sagst es muss für t=0 richtig sein und für [mm] t=\pi/(2\omega)
[/mm]
Dann hast du 2 Gl für die unbekannten A und B.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 18.06.2012 | | Autor: | ggT |
Geht es um diese Gleichung hier:
[mm] $[-\omega^{2} Acos(\omega [/mm] t) - [mm] \omega^{2} Bsin(\omega [/mm] t)] + [mm] \mu [/mm] * [mm] [-\omega Asin(\omega [/mm] t) + [mm] \omega Bcos(\omega [/mm] t)] + [mm] \omega_{0}^{2} [/mm] * [mm] [Acos(\omega [/mm] t) + [mm] Bsin(\omega [/mm] t)] = [mm] cos(\omega [/mm] t)$ [mm] \\
[/mm]
Da soll ich jetzt links alle cos und sin zusammenfassen und dann einmal $t=0$ und $t=...$ einsetzen? Aber was hat das auf der rechten Seite mit $0*sin...$ auf sich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 19.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Koeffizientenvergleich heisst du setzt die Koeffizienten von sin und os auf der linken und rechten seite gleich. auf der rechten Seite steht kein sin also ist der koeffizient von sin 0. also musst du den koeffizient von sin auf der linken seite auch 0 setzen.
oder eben wie ich gesagt habe in die gle 2 t Werte (günstig gewählt- einsetzen, da die gl für alle t richtig sein muss auch für deine gewählten einfachen t.
warum tust dus nicht einfach? das wäre schneller als fragen.
gruss leduart
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