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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass <2,X> [mm] \in [/mm] Z[X], <3, 1 + X2> [mm] \in [/mm] Z[X]
und <X, Y> [mm] \in [/mm] K[X, Y ] keine Hauptideale sind, wobei K ein Körper
ist. Zeigen Sie, dass sie maximale Ideale sind. Zeigen Sie, dass <2, 1 + [mm] \wurzel{-5}> \in Z[\wurzel{-5}] [/mm] kein Hauptideal, aber ein Primideal ist. Ist das ein maximales Ideal? |
Hey hey,
ich verstehe diese Aufgabe einfach nicht. Klar weiß ich, wie ein Ideal, Primideal, maximales Ideal, Hauptideal definiert sind, allerdings hab ich keine Ahnung, wie ich die anwenden kann *seufz*
Wäre echt nett, wenn mir das hier einer an meiner Aufgabe erklären könnte...
mfg
die verzweifelte Sabine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabine
> Zeigen Sie, dass <2,X> [mm]\in[/mm] Z[X], <3, 1 + X2> [mm]\in[/mm] Z[X]
> und <X, Y> [mm]\in[/mm] K[X, Y ] keine Hauptideale sind, wobei K
> ein Körper ist.
Nun, um zu zeigen dass es keine Hauptideale sind, nimm doch mal an, dass sie doch Hauptideal sind, erzeugt von einem Element $f$. Mal etwas konkreter im Beispiel [mm] $\langle [/mm] 2, X [mm] \rangle \subseteq \IZ[X]$.
[/mm]
Wenn [mm] $\langle [/mm] 2, X [mm] \rangle [/mm] = f$ ist mit $f [mm] \in \IZ[X]$, [/mm] dann muss es $g, h [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] geben mit $f g = 2$, $f h = X$. Hieraus kannst du jetzt folgern, dass $f [mm] \in \{ \pm 1 \}$ [/mm] sein muss, womit [mm] $\langle [/mm] f [mm] \rangle [/mm] = [mm] \IZ[X]$ [/mm] ist -- jedoch enthaelt [mm] $\langle [/mm] 2, X [mm] \rangle$ [/mm] z.B. das Element 1 nicht. Also ist [mm] $\langle [/mm] 2, X [mm] \rangle$ [/mm] kein Hauptideal.
> Zeigen Sie, dass sie maximale Ideale sind. Zeigen
> Sie, dass <2, 1 + [mm]\wurzel{-5}> \in Z[\wurzel{-5}][/mm] kein
> Hauptideal, aber ein Primideal ist. Ist das ein maximales
> Ideal?
Nun, zum Thema maximale Ideale und Primideale folgendes: Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und sei $I [mm] \subseteq [/mm] R$ ein Ideal.
a) Genau dann ist $I$ ein maximales Ideal, wenn $R/I$ ein Koerper ist.
b) Genau dann ist $I$ ein Primideal, wenn $R/I$ ein Integritaetsbereich ist.
Versuche also $R/I$ zu bestimmen. Machen wir es mal als Beispiel bei $R = K[X,Y]$ und $I = [mm] \langle [/mm] X, Y [mm] \rangle$. [/mm] Wenn du $X$ "herausfaktorisierst", wird $R$ zum Polynomring $K[Y]$, und wenn du aus diesem $Y$ "herausfaktorisierst" bleibt nur noch $K$ uebrig. Genauer: betrachte die Abbildung $K[X, Y] [mm] \to [/mm] K$, $f = [mm] \sum a_{ij} X^i Y^j \mapsto a_{0,0} [/mm] = f(0, 0)$; diese ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern $I = [mm] \langle [/mm] X, Y [mm] \rangle$. [/mm] Aus dem Homomorphiesatz folgt also $R/I [mm] \cong [/mm] K$. Damit ist $R/I$ ein Koerper, also $I$ maximales Ideal in $R$.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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Hey Felix,
ich ziehe gerade leider um, deswegen konnte ich noch nicht früher antworten. Erstmal danke für deine Hilfe 
Allerdings hab ich noch ein paar Fragen dazu:
Dass mit den Hauptidealen verstehe ich sogar, aber ich frage mich, wie das bei [mm] <3,1+x^2> [/mm] aussieht. Immerhin kann ich hier doch die 1 darstellen, oder? Also wenn x=0 [mm] (\in [/mm] Z), dann hab ich doch die 1 (oder bin ich hier völlig falsch?!?). Das gleiche Problem sehe ich auch bei <X,Y>…
Bei den maximalen Idealen habe ich mir die gleiche Definition angeschaut. Nun kann ich ja bei jedem der drei mein X herausfaktorisieren, so dass <X> immer den Kern und der Rest den Körper repräsentiert, oder?!
Für die letzte Gleichung habe ich mir schließlich überlegt:
Hier muss ich ja wohl auch den Kern suchen, also:
[mm] a+\wurzel{-5} [/mm] * b = 0
<=> [mm] n_{1}/z__{1} [/mm] + [mm] n_{2}/z_{2} [/mm] * [mm] \wurzel{-5} [/mm] = 0
<=> [mm] n_{i} [/mm] = 0
so, jetzt ist R/ker sicherlich ein Integritätsring - aber ist das denn jetzt auch ein Primideal?!?
ich weiß, ich stelle mich hier ganz schön doof an, aber iwann muss ich das ja auch mal verstehen...
Liebe Grüße
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Do 19.11.2009 | | Autor: | Sabine_B. |
hmm, keiner mir keiner was dazu sagen?! :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 20.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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