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| Aufgabe | Man bestimme die Hauptachsen für die reelle quadratische Form
[mm] 3X^2+2Y^2+Z^2-4XY-4YZ. [/mm] |
Hallo,
ich hab von dem ganzen Thema nur sehr wenig Erfahrung. Ich versuche mich trotzdem mal an einem Ansatz.
Ich nenne meine quadratische Form q(x), wobei x=(X,Y,Z) ist.
Ich muss doch irgendeine [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix S finden, sodass
[mm] x^{t}Sx=q(x) [/mm] gilt.
Ich habs mal in einen Rechner eingegeben und der spuckt mir die Matrix
[mm] S=$\begin{pmatrix}3 & -2 & 0\\
-2 & 2 & -2\\
0 & -2 & 1\end{pmatrix}$ [/mm] aus.
Wenn man das ganze ausmultipliziert kommt auch meine Anfangsform raus.
Sind jetzt die Spalten meiner Matrix bereits die Hauptachsen, oder muss ich noch etwas weiteres berechnen?
Und die wichtigste Frage: Wie kann ich per Hand diese Matrix P berechnen, wie muss man da vorgehen?
Gruß Sleeper
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Hallo T_sleeper,
> Man bestimme die Hauptachsen für die reelle quadratische
> Form
> [mm]3X^2+2Y^2+Z^2-4XY-4YZ.[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab von dem ganzen Thema nur sehr wenig Erfahrung. Ich
> versuche mich trotzdem mal an einem Ansatz.
> Ich nenne meine quadratische Form q(x), wobei x=(X,Y,Z)
> ist.
> Ich muss doch irgendeine [mm]3\times[/mm] 3 Matrix S finden,
> sodass
> [mm]x^{t}Sx=q(x)[/mm] gilt.
> Ich habs mal in einen Rechner eingegeben und der spuckt
> mir die Matrix
> [mm]S=$\begin{pmatrix}3 & -2 & 0\\
-2 & 2 & -2\\
0 & -2 & 1\end{pmatrix}$[/mm]
> aus.
>
> Wenn man das ganze ausmultipliziert kommt auch meine
> Anfangsform raus.
>
> Sind jetzt die Spalten meiner Matrix bereits die
> Hauptachsen, oder muss ich noch etwas weiteres berechnen?
Um auf die Hauptachsen zu kommen,
mußt Du die Eigenwerte der Matrix S berechnen.
>
> Und die wichtigste Frage: Wie kann ich per Hand diese
> Matrix P berechnen, wie muss man da vorgehen?
Nun, für die allgemeine quadratische Form in 3 Variablen gilt:
[mm]\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_{ij}*x_{i}x_{j}+\summe_{i=1}^{3}a_{i4}*x_{i}+a_{44}=0[/mm]
, wobei hier jetzt [mm]x_{1}:=X, \ x_{2}:=Y, \ x_{3}:=Z[/mm] ist.
Den Ausdruck
[mm]\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_{ij}*x_{i}x_{j}[/mm]
kann man auch in der Matrizenschreibweise schreiben:
[mm]\pmat{x_{1} & x_{2} & x_{3}}*S*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm]
,wobei dann die Matrix S symmetrisch sein muß, d.h. [mm]a_{ij}=a_{ji}, i \not= j[/mm]
Dann läßt sich dieser Ausdruck auch so schreiben:
[mm]\summe_{i=1}^{3}a_{ii}*x_{i}^{2}+2*\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=i+1}^{3}a_{ij}*x_{i}x_{j}[/mm]
Und die Matrix S ergibt sich dann zu:
[mm]S=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}}[/mm]
Diese Form der Matrix hat auch Dein Rechner ausgespuckt.
>
> Gruß Sleeper
Gruß
MathePower
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Ok gut. Also wenn ich das richtig sehe, berechne ich Eigenwerte und Eigenvektoren, bastele mir daraus eine Orthogonalmatrix U, sodass [mm] U^{t}SU=D, [/mm] wobei D Diagonalmatrix ist. Und dann berechne ich [mm] x^{t}Dx [/mm] und habe dann eine quadratische Form ohne gemischte Teile XY oder YZ, oder?
Was genau sind davon jetzt die Hauptachsen?
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Hallo T_sleeper,
> Ok gut. Also wenn ich das richtig sehe, berechne ich
> Eigenwerte und Eigenvektoren, bastele mir daraus eine
> Orthogonalmatrix U, sodass [mm]U^{t}SU=D,[/mm] wobei D
> Diagonalmatrix ist. Und dann berechne ich [mm]x^{t}Dx[/mm] und habe
> dann eine quadratische Form ohne gemischte Teile XY oder
> YZ, oder?
So isses.
> Was genau sind davon jetzt die Hauptachsen?
Nun die Hauptachsen sind die Eigenvektoren zum entsprechenden Eigenwert.
Gruß
MathePower
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> Nun die Hauptachsen sind die Eigenvektoren zum
> entsprechenden Eigenwert.
>
>
> Gruß
> MathePower
Achso, ja dann brauche ich die Matrix U ja garnicht berechnen, sondern nur Eigenvektoren von S, oder?
Sind nicht vielmehr die Vektoren der Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren die Hauptachsen? Also die Eigenvektoren noch normieren?
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Hallo T_sleeper.
> > Nun die Hauptachsen sind die Eigenvektoren zum
> > entsprechenden Eigenwert.
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
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> Achso, ja dann brauche ich die Matrix U ja garnicht
> berechnen, sondern nur Eigenvektoren von S, oder?
> Sind nicht vielmehr die Vektoren der Orthonormalbasis aus
> den Eigenvektoren die Hauptachsen? Also die Eigenvektoren
> noch normieren?
Jo, die Eigenvektoren sind noch zu normieren.
Wenn Du die quadratische Gleichung auf Diagonalgestalt bringen,
willst, dann sind im Prinzip nur die Eigenwerte der Matrix S nötig,
Bist auch an der Transformation, die die quadratische Gleichung auf
Diagonalgestallt bringt, interessiert, dann mußt Du auch die Eigenvektoren
zum jeweiligen Eigenwert berechnen.
Gruß
MathePower
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> Wenn Du die quadratische Gleichung auf Diagonalgestalt
> bringen,
> willst, dann sind im Prinzip nur die Eigenwerte der Matrix
> S nötig,
Ja daraus besteht die Diagonalmatrix.
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> Bist auch an der Transformation, die die quadratische
> Gleichung auf
> Diagonalgestallt bringt, interessiert, dann mußt Du auch
> die Eigenvektoren
> zum jeweiligen Eigenwert berechnen.
>
Nur um es nochmal klarzustellen, die Aufgabe verlangt ja nur die Bestimmung der Hauptachsen, und das sind jetzt die normierten Eigenvektoren, also die Spalten meiner Diagonalmatrix?
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo T_sleeper,
> > Wenn Du die quadratische Gleichung auf Diagonalgestalt
> > bringen,
> > willst, dann sind im Prinzip nur die Eigenwerte der
> Matrix
> > S nötig,
>
> Ja daraus besteht die Diagonalmatrix.
>
> >
> > Bist auch an der Transformation, die die quadratische
> > Gleichung auf
> > Diagonalgestallt bringt, interessiert, dann mußt Du auch
> > die Eigenvektoren
> > zum jeweiligen Eigenwert berechnen.
> >
>
> Nur um es nochmal klarzustellen, die Aufgabe verlangt ja
> nur die Bestimmung der Hauptachsen, und das sind jetzt die
> normierten Eigenvektoren, also die Spalten meiner
> Diagonalmatrix?
>
Ja.
Gruß
MathePower
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