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| Aufgabe | Stellen sie die quadratische form in dem hauptaschsensystem dar. geben sie die neue orthonormalbasis und die transformationsmatrix an.
a) f(x) = [mm] 27(x_{1})^2 [/mm] - 10 [mm] x_{1} x_{2} [/mm] + 3 [mm] (x_{2})^2 [/mm] , x [mm] \in \IR{2}
[/mm]
b) g(x) = [mm] 2(x_{1})^2 [/mm] + 8 [mm] x_{1} x_{2} [/mm] + 8 [mm] (x_{2})^2 [/mm] , x [mm] \in \IR{2}
[/mm]
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Hey, hoffentlich kann mir jemand helfen, knifflich ist b, da weiss ich nicht weiter!
zu a) habe ich die eigenwerte bestimmt 2 und 28 und die eigenvektoren!
Orthonormalbasis B = [mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{26}} \pmat{ 1 & -5 \\ 5 & 1 }
[/mm]
quadratische form bzgl. des hauptachsensystems :
{f(y)} = [mm] 2(y_{1})^2 [/mm] + 28 [mm] (y_{2})^2 [/mm]
aber was ist jetzt die Transformationsmatrix, ist damit die Drehmatrix gemeint [mm] B^T [/mm] *A*B??? kann mir da jemand weiter helfen.
zu b) ich habe die Matrix aufgestellt, also A
[mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 8 }
[/mm]
so dann habe ich die eigenwerte bestimmt, die sind 30 und 20, und die eigenvektoren, allerdings sind das bei mir beides nullvektoren und da weiss ich nicht recht weiter, ausserdem sind die vektoren von ALinear abh. ..... das irritiert mich etwas
gruss bonanza
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Hallo bonanza123,
> Stellen sie die quadratische form in dem hauptaschsensystem
> dar. geben sie die neue orthonormalbasis und die
> transformationsmatrix an.
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> a) f(x) = [mm]27(x_{1})^2[/mm] - 10 [mm]x_{1} x_{2}[/mm] + 3 [mm](x_{2})^2[/mm] , x
> [mm]\in \IR{2}[/mm]
>
> b) g(x) = [mm]2(x_{1})^2[/mm] + 8 [mm]x_{1} x_{2}[/mm] + 8 [mm](x_{2})^2[/mm] , x [mm]\in \IR{2}[/mm]
>
> Hey, hoffentlich kann mir jemand helfen, knifflich ist b,
> da weiss ich nicht weiter!
>
> zu a) habe ich die eigenwerte bestimmt 2 und 28 und die
> eigenvektoren!
> Orthonormalbasis B = [mm]\bruch{1}{\wurzel[2]{26}} \pmat{ 1 & -5 \\ 5 & 1 }[/mm]
>
> quadratische form bzgl. des hauptachsensystems :
>
> {f(y)} = [mm]2(y_{1})^2[/mm] + 28 [mm](y_{2})^2[/mm]
>
> aber was ist jetzt die Transformationsmatrix, ist damit die
> Drehmatrix gemeint [mm]B^T[/mm] *A*B??? kann mir da jemand weiter
> helfen.
Die Transformationsmatrix ist die Matrix B.
>
> zu b) ich habe die Matrix aufgestellt, also A
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
>
> so dann habe ich die eigenwerte bestimmt, die sind 30 und
> 20, und die eigenvektoren, allerdings sind das bei mir
> beides nullvektoren und da weiss ich nicht recht weiter,
> ausserdem sind die vektoren von ALinear abh. ..... das
> irritiert mich etwas
Nach meiner Rechnung kommen hier andere Eigenwerte heraus.
>
> gruss bonanza
Gruss
MathePower
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Hey, stimmt hab mich verrechnet, jetzt habe ich 10 und 0 raus ?
dann ist Orthonormalbasis die transformationsmatrix ?
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Hallo bonanza123,
> Hey, stimmt hab mich verrechnet, jetzt habe ich 10 und 0
> raus ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann ist Orthonormalbasis die transformationsmatrix ?
>
So isses.
Gruß
MathePower
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