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| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^3 \to \IR [/mm] eine Fläche mit:
[mm] f(x,y,z):=4x^2+y^2-6yz+z^2-8x-8y+8z+12=0
[/mm]
Führen Sie eine Hauptachsentransformation für f durch und geben Sie die Normalform ~f der Fläche an. |
Ich bin bei dieser Aufgabe eig. weit gekommen allerdings weiß ich nicht wie ich am Ende weitermachen soll.
Ich kürze mal ein wenig ab:
A= [mm] \pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 }
[/mm]
Deren Eigenwerte sind [mm] \lambda=4,4,-2
[/mm]
Die orthogonale Transformationsmatrix Q ist:
[mm] Q=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} }
[/mm]
Angewendet wird nun
x=Qy
es ergibt sich
[mm] f(x)=y^{T}Dy+2b^{T}Qy+c=0 [/mm]
mit
[mm] y=\vektor{u \\ v \\ w}
[/mm]
Ich erhalte also
[mm] f(x)=\pmat{ u & v & w }^{T}\pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2}\vektor{u \\ v \\ w}+2\pmat{ -4 & -4 & 4 }^{T}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} }\pmat{ u \\ v \\ w }+12=0
[/mm]
Alles ausgeklammert und die *2 weggelassen (warum überhaupt?):
[mm] 4u^2+4v^2-2w^2-4u+4\sqrt{2}v+12=0
[/mm]
Quadratisch Ergänzt:
[mm] 4((u-\bruch{1}{2})^2+\bruch{11}{4})+4((v+\bruch{1}{\sqrt{2}})^2-\bruch{1}{2})-2w^2=0
[/mm]
Ist das jetzt die Normalform? Was soll ich daran erkennen können? Oder muss ich noch etwas tun? Bin etwas ratlos bei diesem Verfahren.
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Hallo SturmGhost,
> Es sei [mm]f:\IR^3 \to \IR[/mm] eine Fläche mit:
>
> [mm]f(x,y,z):=4x^2+y^2-6yz+z^2-8x-8y+8z+12=0[/mm]
>
> Führen Sie eine Hauptachsentransformation für f durch und
> geben Sie die Normalform ~f der Fläche an.
> Ich bin bei dieser Aufgabe eig. weit gekommen allerdings
> weiß ich nicht wie ich am Ende weitermachen soll.
>
> Ich kürze mal ein wenig ab:
>
> A= [mm]\pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 }[/mm]
>
> Deren Eigenwerte sind [mm]\lambda=4,4,-2[/mm]
>
> Die orthogonale Transformationsmatrix Q ist:
>
> [mm]Q=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} }[/mm]
>
> Angewendet wird nun
>
> x=Qy
>
> es ergibt sich
>
> [mm]f(x)=y^{T}Dy+2b^{T}Qy+c=0[/mm]
>
> mit
>
> [mm]y=\vektor{u \\ v \\ w}[/mm]
>
> Ich erhalte also
>
> [mm]f(x)=\pmat{ u & v & w }^{T}\pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2}\vektor{u \\ v \\ w}+2\pmat{ -4 & -4 & 4 }^{T}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} }\pmat{ u \\ v \\ w }+12=0[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Alles ausgeklammert und die *2 weggelassen (warum
> überhaupt?):
>
> [mm]4u^2+4v^2-2w^2-4u+4\sqrt{2}v+12=0[/mm]
>
Der lineare Teil ist noch mit 2 zu mulitplizieren:
[mm]4u^2+4v^2-2w^2-4u*\blue{2}+4\sqrt{2}v*\blue{2}+12=0[/mm]
> Quadratisch Ergänzt:
>
> [mm]4((u-\bruch{1}{2})^2+\bruch{11}{4})+4((v+\bruch{1}{\sqrt{2}})^2-\bruch{1}{2})-2w^2=0[/mm]
>
> Ist das jetzt die Normalform? Was soll ich daran erkennen
> können? Oder muss ich noch etwas tun? Bin etwas ratlos bei
> diesem Verfahren.
Hier hast Du durch die quadratische Ergänzung eine nochmalige Transformation.
Setze z.B. r:=u+c, s:=v+d, t:=w+e
Gruss
MathePower
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Hm, warum klammert man laut Skript erst die 2 aus und schmeißt die dann wieder rein?
Du meinst ich soll die Klammern substituieren?
[mm] 4(\alpha^2+\bruch{11}{4})+4(\beta^2-\bruch{1}{2})-2w^2=0
[/mm]
Edit: Habe noch einmal mit der *2 gerechnet und nun habe ich:
[mm] 4(u-1)^2+4(v+\sqrt{2})^2-2w^2=0
[/mm]
Also wenn ich mal die Klammern substituieren:
[mm] 4\alpha^2+4\beta^2-2w^2=0 [/mm]
Bin ich damit fertig?
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Hallo SturmGhost,
> Hm, warum klammert man laut Skript erst die 2 aus und
> schmeißt die dann wieder rein?
>
Keine Ahnung.
> Du meinst ich soll die Klammern substituieren?
>
Ja.
> [mm]4(\alpha^2+\bruch{11}{4})+4(\beta^2-\bruch{1}{2})-2w^2=0[/mm]
>
> Edit: Habe noch einmal mit der *2 gerechnet und nun habe
> ich:
>
> [mm]4(u-1)^2+4(v+\sqrt{2})^2-2w^2=0[/mm]
>
> Also wenn ich mal die Klammern substituieren:
>
> [mm]4\alpha^2+4\beta^2-2w^2=0[/mm]
>
> Bin ich damit fertig?
Jetzt kannst Du noch eine Schönheitskorrektur anbringen,
um den Typ zu charakterisieren, wobei Du das auch jetzt schon kannst:
[mm]\tilde{\alpha}=2\alpha, \ \tilde{\beta}=2\beta, \ \tilde{w}=\wurzel{2}w[/mm]
Das liefert dann:
[mm]\tilde{\alpha}^{2}+\tilde{\beta}^{2}-\tilde{w}^{2}=0[/mm]
Gruss
MathePower
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