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| Aufgabe | Durch q(x, y) = [mm] 3x^{2} [/mm] − 2xy + [mm] 3y^{2} [/mm] sei die folgende Fläche gegeben:
F = {(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | q(x, y) = 4x + 4y + 12}
Bestimmen Sie mit Hilfe einer Hauptachsentransformation für q(x, y) die Gestalt der Fläche F. |
Hey Leute!
Also ich hab mal angefangen und die gleichung
F = {(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] 3x^{2} [/mm] − 2xy + [mm] 3y^{2} [/mm] = 4x + 4y + 12}
so umgestellt:
F = {(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] = 4x + 4y + 2xy + 12}
F = {(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] \bruch{3}{4x + 4y + 2xy + 12} x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4x + 4y + 2xy + 12} y^{2} [/mm] = 1}
ist das so überhaupt richtig?
wenn ja, wie muss ich weiter vorgehen?
danke schonmal für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Fr 27.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
führe eine einfache Hauptachsentransformation durch für die Gleichung
[mm] $3x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] - 2xy - 4x - 4y - 12 = 0$
Das solltest du in Ruhe in deinem Buch oder Skript nachlesen.
Wenn du damit Schwierigkeiten hast, poste deine Ansätze hier.
LG
Will
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ok, ich hab mal bei Wikipedia geguckt wie das geht, da in unserem Script meiner Meinung nach keine verständliche Anleitung steht.
Also die Gleichung in Matrizenschreibweise sieht wie folgt aus:
[mm] (x,y)\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 }\vektor{ x \\ y } [/mm] - [mm] (4,4)\vektor{ x \\ y } [/mm] - 12 = 0
Dazu hab ich die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=4 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] und Eigenvektorn [mm] \vektor{ 1 \\ -1 } [/mm] und [mm] \vektor{ 1 \\ 1 } [/mm] berechnet.
Aus denen habe ich dann das Orthonormalsystem bestimmt mit
[mm] u_{1}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{ 1 \\ -1 } [/mm] und
[mm] u_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{ 1 \\ 1 }
[/mm]
Darauf kann ich nun eine Matrix Q und D bestimmen
[mm] Q=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
[mm] D=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Dann ergibt sich für die gedrehte Hyperfläche
[mm] (x',y')D\vektor{ x' \\ y' } [/mm] + ( ? , ? ) [mm] \vektor{ x' \\ y' }
[/mm]
Und hier ist dann meine Frage, ich weiß nicht genau wie ich mit Q auf die Klamma komme.
Und noch danke für Hilfe! =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> ok, ich hab mal bei Wikipedia geguckt wie das geht, da in
> unserem Script meiner Meinung nach keine verständliche
> Anleitung steht.
Du brauchst auch keine Anleitung, sondern nur das Verständnis 
Wie das geht, ist dir dann automatisch klar.
> Also die Gleichung in Matrizenschreibweise sieht wie folgt
> aus:
>
> [mm](x,y)\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 }\vektor{ x \\ y }[/mm] -
> [mm](4,4)\vektor{ x \\ y }[/mm] - 12 = 0
korrekt, aber verwende bitte in diesem Fall als Variablen nicht x und y sondern [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$.
[/mm]
Du wirst später sehen, warum das übersichtlicher wird. Wir müssen bei der Transformation in der Regel zwei mal substituieren. Einmal für die Drehung und einmal für die Verschiebung. Dafür verwenden wir dann [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] bzw. [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$.
[/mm]
> Dazu hab ich die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=4[/mm] und [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
> und Eigenvektorn [mm]\vektor{ 1 \\ -1 }[/mm] und [mm]\vektor{ 1 \\ 1 }[/mm]
> berechnet.
>
> Aus denen habe ich dann das Orthonormalsystem bestimmt mit
> [mm]u_{1}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{ 1 \\ -1 }[/mm] und
> [mm]u_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> Darauf kann ich nun eine Matrix Q und D bestimmen
>
> [mm]Q=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> [mm]D=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bis hierher alles fein!
Du kannst übersichtlicher schreiben: $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} * \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1}}$.
> Dann ergibt sich für die gedrehte Hyperfläche
nicht so schnell: Schreibe erstmal die Gleichung für die durchgeführte Eigenwertzerlegung auf.
Wie läßt sich nun $M = \pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 }$ als Produkt dreier Matrizen schreiben?
Beachte dann, daß für orthogonale Matrizen wie Q die Inverse gleich der Transponierten ist und schreibe die Zerlegung mithilfe der Transponierten.
Wenn du das hast, dann poste es und frag nochmal
Viel Erfolg!
Gruß
Will
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gut... :)
Ich weiß jetzt leider nicht genau, was für eine Eigenwertzerlegung du meinst?
aber ich habe ein [mm] q(x)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] berechnet, so das [mm] Q*q(x)*Q^{t}= [/mm] M ist.
das nun nicht viel aber ich weiß wieder nicht weiter!
danke für die nützlichen Tips bisher...oder eher Anweisungen.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich weiß jetzt leider nicht genau, was für eine
> Eigenwertzerlegung du meinst?
>
> aber ich habe ein [mm]q(x)=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] berechnet,
q(x) hört sich nach einer Quadrik an. Nenn die Matrix einfach D für "Diagonalmatrix".
> so das [mm]Q*q(x)*Q^{t}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M ist.
Genau die meinte ich.
Wir wissen jetzt also, daß mit $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot{} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1}} $ gilt: $ M = \pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 } = Q * D * Q^T$.
Nun ersetze in der ursprünglichen Quadrik die Matrix M durch diesen Ausdruck.
Dann setze $y := Q^T * x$. Wegen $Q^T = Q^{-1}$ bedeutet das: $x = Q * y$.
Ersetze damit überall x durch y.
Gruß
Will
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