Hauptachsentransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 08.05.2005 | | Autor: | ju2327 |
Hallo, ich habe die quadratische Form [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+5x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+7x_{2}x_{3}+8x_{3}x_{4} [/mm] gegeben, und soll nun mit Hilfe der quadratischen Ergänzung eine Hauptachsentransformation durchführen. Meine Umformungen reichen bis [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=(x_{1}+\bruch{5}{2}x_{2})^{2}-\bruch{17}{4}(x_{2}-\bruch{14}{17}x_{3})^{2}+\bruch{117}{17}x_{3}^{2}+6x_{1}x_{3}+8x_{3}x_{4}. [/mm] Nun weiß ich nicht, wie ich durch weitere Umformungen eine Form bilden kann, an der man die Form des Gebildes in den neuen Koordinaten ablesen (bzw. bestimmen) kann. Bin dankbar für jede Anregung. Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo,
> Hallo, ich habe die quadratische Form [mm]f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+5x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+7x_{2}x_{3}+8x_{3}x_{4}[/mm]
> gegeben, und soll nun mit Hilfe der quadratischen Ergänzung
> eine Hauptachsentransformation durchführen. Meine
> Umformungen reichen bis [mm]f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=(x_{1}+\bruch{5}{2}x_{2})^{2}-\bruch{17}{4}(x_{2}-\bruch{14}{17}x_{3})^{2}+\bruch{117}{17}x_{3}^{2}+6x_{1}x_{3}+8x_{3}x_{4}.[/mm]
> Nun weiß ich nicht, wie ich durch weitere Umformungen eine
> Form bilden kann, an der man die Form des Gebildes in den
> neuen Koordinaten ablesen (bzw. bestimmen) kann. Bin
> dankbar für jede Anregung. Vielen Dank für eure Hilfe
sorge zuerst dafür, daß die gemischtquadratischen Glieder verschwinden.
Dieser Ausdruck:
[mm]5\;x_{1} \;x_{2} \; + \;6\;x_{1} \;x_{3} \; + \;7\;x_{2} \;x_{3} \; +
\;8\;x_{3} \;x_{4}[/mm]
Dann steht sowas da:
[mm]\left( {a_{1} \;x_{1} \; + \;a_{2} \;x_{2} \; + \;a_{3} \;x_{3} \; + \;a_{4} \;x_{4} } \right)^{2} \; \pm \;\left( {b_{1} \;x_{2} \; + \;b_{2} \;x_{3} \; + \;b_{3} \;x_{4} } \right)^{2} \; \pm \;\left( {c_{1} \;x_{3} \; + \;c_{2} \;x_{4} } \right)^2 \; \pm \;d_{1} \;x_{4}^{2}[/mm]
Normalerweise macht man das über die Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A:
[mm]
A\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & {\frac{5}
{2}} & 3 & 0 \\
{\frac{5}
{2}} & 2 & {\frac{7}
{2}} & 0 \\
3 & {\frac{7}
{2}} & 4 & 4 \\
0 & 0 & 4 & 0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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