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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in M(nxn,\IR) [/mm] symm. und s eine durch A beschr. symm. Bilinearform auf [mm] \IR^n. [/mm] Dann gilt:
1) Ist [mm] B=(w_1,...,w_2) [/mm] eine ONB des [mm] \IR^n [/mm] bzgl. des Standardskalarprodukts bestehend aus EV des Endom. A, so ist [mm] M_B(s)=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_n }, [/mm] d.h. [mm] s(w_i,w_j)=\lambda_i\delta_{ij} [/mm] (also [mm] s(w_1,w_1)=\lambda_1)
[/mm]
wobei [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] die EW von A sind.
2)Es gibt eine Basis B' des [mm] \IR^n, [/mm] so dass [mm] M_B'(s)=\pmat{ E_k & 0 & 0 \\ 0 & -E_l & 0 \\ 0 & 0 & 0 }=D' [/mm] mit k max. Anzahl pos. EW und l max. Anzahl neg. EW.
D.h. es gibt ein T' [mm] \in GL(n,\IR) [/mm] mit [mm] D'=T^{'t}*A*T' [/mm] |
Hallo,
soweit der Satz über die Hauptachsentransformation, dazu gibt es auch ein Beispiel im ![[]](/images/popup.gif) Fischer Seite 320 ein Beispiel, das ich jetzt nicht nochmal ganz auchschreiben möchte.
Meine Frage dazu ist folgende:
Man erhält ja die quadr. Form q(x), allerdings gibt es da ja noch einen störenden mittleren Summand ohne "²", daher nimmt man ja die Koordinaten [mm] z_1,z_2 [/mm] bzgl einer Basis B' um auf eine quadr. Form q(x(z)) zu kommen anhand der man die EW ablesen kann, ist das so richtig?
Kann mir einer die Bilder zu dem Beispiel erläutern. Also einmal die Ellipse und einmal die Hyperbel. Sind das die z-Werte für die die Funktion q(x(z)) den Wert 1 annimmt, also die Werte die die positiven, neg. EW liefern???
Mir ist nicht so ganz klar, was daran jetzt die Hauptachsentransformation ist?? Das Verfahren ansich dient ja dazu mit gegebern ONB und Bilinearform die EW zu bestimmen und die darstellende Matrix zu erhalten oder? ABer was ist dabei die "Transformation"??
Ich hoffe ihr versteht, was ich fragen will.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 02.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir doch mal in Wiki die Darstellung von Ellipsoid, Hyperboloid und Paraboloid an.Sobals man diese Darstellung hat, kann man sofort sehen, was es für eine Fläche ist.
die Schnitte mit den Koordinatenebenen geben dann jeweils die entsprechenden ebenen Kurven.
deine transformation dreht also die Koordinaten (Basis) so, dass die Basisvektoren parallel zu den Achsen der Flächen sind.
War as deine Frage?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Fr 02.04.2010 | | Autor: | Peon |
Ich denke das geht in die richtige Richtung, aber ich kann mir das noch nicht so ganz vorstellen. Im Fischer waren das eine Ellipse und eine Hyperbel, vielleicht kannst du mir das anhand der Beispiele nochmal veranschaulichen, vielleicht ist das leichter zu verstehen ?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Fr 02.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in kartesischen Koordinaten ist ein Kreis:
[mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
oder
[mm] x^2/r^2+y^2/r^2=1
[/mm]
wenn du den in einer Richtung stauchst (oder streckst) im Verhältnis p/q etwa in y Richtung, dann wird jede y Koordinate um den Faktor p/q verkleinert. Du hast dann
[mm] x^2*(q/p*y)^2=r^2
[/mm]
oder
[mm] x^/r^2+y^2/(r*P/q)^2=1
[/mm]
d.h. x geht weiterhin von -r bis +r
y von -p/q*r bis p/q*r
2r und 2*p/q*r heissen deshalb Achsen der Ellipse.
Ausserdem sind Ellipsen Schnitte von Kegeln mit schrägen Ebenen, andere Schnitte sind Hyperbeln und Parabeln
die anderen (Brennpunkt)eigenschaften liest du in wiki nach.
Was noch an Fragen offen bleibt, kann ich nicht richtig verstehen, in dem buch wird doch auch nur das KOOS gedreht, bis du die "normalform kriegst. du musst schon sagen, was daran schwer ist?
sonst machs einfach mal umgekehrt, fang mit ner "normalen" Ellipse [mm] x^2/a^2+y^2/b^2 [/mm] an und wende eine drehmatrix um 30° an.
Gruss leduart
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