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Einen schönen guten Morgen!
Gegeben ist die Gleichung
[mm] 2x^2-4xy-y^2-4x+4y+2=0
[/mm]
Dafür soll ich eine Hauptachsen trans. durchführen.
OK:
aufgestellte Matrix: [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ -2 & -1 }
[/mm]
deren Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -2
ergibt die Eigenvektoren [mm] a_{1}= \vektor{-2\\1} [/mm] und [mm] a_{2}= \vektor{1\\2}
[/mm]
diese werden normiert und ergeben
[mm] a_{1n}= \vektor{-2/wurzel{5}\\1/wurzel{5}} [/mm] und [mm] a_{2n}= \vektor{1/wurzel{5}\\2/wurzel{5}} [/mm]
Dies führt dann auf die Drehmatrix A= [mm] \pmat{1/wurzel{5} & -2/wurzel{5} \\ 2/wurzel{5} & 1/wurzel{5} }
[/mm]
Und jetzt kommt meine Frage:
Wie bekomme ich den Drehwinkel und die Drehachse?
Die Drehmat für [mm] \IR^{2} [/mm] ist ja D= [mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
rechne ich jetzt aber [mm] \alpha [/mm] aus, komme ich auf [mm] \alpha=1,10715
[/mm]
Zeiche ich diese Kurve in Maple ist es aber ?ca? um 45° gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo MatheKrissy,
> Einen schönen guten Morgen!
>
> Gegeben ist die Gleichung
> [mm]2x^2-4xy-y^2-4x+4y+2=0[/mm]
>
> Dafür soll ich eine Hauptachsen trans. durchführen.
> OK:
> aufgestellte Matrix: [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ -2 & -1 }[/mm]
> deren
> Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = -2
> ergibt die Eigenvektoren [mm]a_{1}= \vektor{-2\\1}[/mm] und [mm]a_{2}= \vektor{1\\2}[/mm]
>
> diese werden normiert und ergeben
> [mm]a_{1n}= \vektor{-2/wurzel{5}\\1/wurzel{5}}[/mm] und [mm]a_{2n}= \vektor{1/wurzel{5}\\2/wurzel{5}}[/mm]
>
>
> Dies führt dann auf die Drehmatrix A= [mm]\pmat{1/wurzel{5} & -2/wurzel{5} \\ 2/wurzel{5} & 1/wurzel{5} }[/mm]
>
> Und jetzt kommt meine Frage:
> Wie bekomme ich den Drehwinkel und die Drehachse?
Nun, eine Drehachse gibt es erst im [mm]\IR^{3}[/mm]
Erweiterst Du die Eigenvektoren um eine Komponente,
so wirst Du feststellen, daß die z-.Achse im [mm]\IR^{3}[/mm] die Drehachse ist.
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> Die Drehmat für [mm]\IR^{2}[/mm] ist ja D= [mm]\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> rechne ich jetzt aber [mm]\alpha[/mm] aus, komme ich auf
> [mm]\alpha=1,10715[/mm]
>
> Zeiche ich diese Kurve in Maple ist es aber ?ca? um 45°
> gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Der Winkel [mm]\alpha=1,10715[/mm] stimmt schon.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
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