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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Di 27.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
[mm] $\mathbb{Z}[X]$ [/mm] ist ein Hauptidealring.
Hinweis: Betrachten Sie das von $X$ und $2$ erzeugte Ideal. |
Hallo zusammen,
wäre sehr dankbar, wenn jemand von Euch meinen Lösungsansatz kurz kommentieren könnte.
Vorüberlegung: der Hinweis deutet daraufhin, dass die Aussage falsch ist. Ein Hauptidealring ist definiert als ein Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, wenn also jedes Ideal von nur einem Element erzeugt wird. Zu zeigen ist also, dass das von $X$ und $2$ erzeugte Ideal in R nicht bereits von einem Element aus $R$ erzeugt werden kann.
Ist dieser Lösungsansatz in Euren Augen vielversprechend?
Vielen Dank für Eure Hinweise und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Di 27.05.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
der Ansatz ist auf jeden Fall der richtige, man nimmt an, es gäbe ein Element a, so dass (2,X)=(a) und führt dies zum Widerspruch.
Viel Erfolg,
Kyle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 30.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo,
sei also angenommen, dass es ein Element [mm] $a\in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] gibt, so dass $(2,X)=(a)$ gilt.
Die Elemente der beiden Ideale lassen sich schreiben als:
[mm] $(2,X)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=b_1X+2b_2,\ \mbox{mit}\ b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X]\right\}$ [/mm] und
[mm] $(a)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=c\cdot a,\ \mbox{mit}\ c\in\mathbb{Z}[X]\right\}$
[/mm]
Diese stimmen überein, wenn ihre Elemente übereinstimmen, es also zu alle Polynomen [mm] $b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] ein $c [mm] \in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] gibt mit
[mm] $b_1X+2b_2=c\cdot [/mm] a$
Hier komme ich leider nicht weiter, vielleicht könnte mir ja jemand einen Tipp geben.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
> Hallo,
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> der Ansatz ist auf jeden Fall der richtige, man nimmt an,
> es gäbe ein Element a, so dass (2,X)=(a) und führt dies zum
> Widerspruch.
>
> Viel Erfolg,
> Kyle
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> Hallo,
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> sei also angenommen, dass es ein Element [mm]a\in\mathbb{Z}[X][/mm]
> gibt, so dass [mm](2,X)=(a)[/mm] gilt.
> Die Elemente der beiden Ideale lassen sich schreiben als:
>
> [mm](2,X)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=b_1X+2b_2,\ \mbox{mit}\ b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X]\right\}[/mm]
> und
> [mm](a)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=c\cdot a,\ \mbox{mit}\ c\in\mathbb{Z}[X]\right\}[/mm]
>
> Diese stimmen überein, wenn ihre Elemente übereinstimmen,
> es also zu alle Polynomen [mm]b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X][/mm] ein [mm]c \in\mathbb{Z}[X][/mm]
> gibt mit
> [mm]b_1X+2b_2=c\cdot a[/mm]
>
> Hier komme ich leider nicht weiter, vielleicht könnte mir
> ja jemand einen Tipp geben.
Hallo,
vor allem gibt es dann ganzzahlige Polynome [mm] q_1, q_2 [/mm] mit q_1a=2 und q_2a=X.
Du kannst Dir nun überlegen, daß dann a=1 oder a=-1 sein muß.
Ist [mm] \pm1\in [/mm] (2,X) ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo,
erstmal vielen Dank für den Tipp. Meine Lösung sieht jetzt so aus:
Es sei angenommen, dass das von $X$ und $2$ in $R$ erzeugte Ideal bereits von einem Element [mm] $a\in [/mm] R$ erzeugt wird, dass es also ein Element [mm] $a\in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] gibt, so dass $(2,X)=(a)$ gilt.
Die Elemente der beiden Ideale lassen sich schreiben als:
[mm] $(2,X)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=b_1X+2b_2,\ \mbox{mit}\ b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X]\right\}$
[/mm]
und
[mm] $(a)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=c\cdot a,\ \mbox{mit}\ c\in\mathbb{Z}[X]\right\}.$
[/mm]
Diese Mengen stimmen überein, wenn ihre Elemente übereinstimmen, es also zu allen Polynomen [mm] $b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] ein $c [mm] \in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] gibt mit
[mm] $b_1X+2b_2=c\cdot [/mm] a.$
Für [mm] $b_1=1$ [/mm] und [mm] $b_2=0$ [/mm] bzw. [mm] $b_1=0$ [/mm] und [mm] $b_2=1$ [/mm] muss es demnach ganzzahlige Polynome [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] geben mit
[mm] $c_1\cdot [/mm] a=2$
und
[mm] $c_2\cdot [/mm] a=X.$
Aus der ersten Beziehung folgt, dass entweder $a=2$, $a=1$ oder $a=-1$ gelten muss. Zusammen mit der zweiten Gleichung folgt, dass $a=1$ oder $a=-1$ gelten muss. Somit muss es ganzzahlige Polynome [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] für die [mm] $\pm 1=p_1\cdot [/mm] 2+ [mm] p_2\cdot [/mm] X$ gilt. Da diese Gleichung nie erfüllt ist (links steht eine Einheit des Polynomrings, rechts steht das Nullpolynom, ein Vielfaches von $2$ oder ein Polynom mit [mm] Grad$\geq [/mm] 1$), kann für das Element aus $(2,X)$ für [mm] $b_1=1$ [/mm] und [mm] $b_2=0$ [/mm] nicht als Element von $(a)$ dargestellt werden. Demnach ist $(2,X)$ kein Hauptideal und $R$ kein Hauptidealring.
Was meint Ihr dazu?
Viele Grüße
Gregor
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> erstmal vielen Dank für den Tipp. Meine Lösung sieht jetzt
> so aus:
> Es sei angenommen, dass das von [mm]X[/mm] und [mm]2[/mm] in [mm]R[/mm] erzeugte
> Ideal bereits von einem Element [mm]a\in R[/mm] erzeugt wird, dass
> es also ein Element [mm]a\in\mathbb{Z}[X][/mm] gibt, so dass
> [mm](2,X)=(a)[/mm] gilt.
> Die Elemente der beiden Ideale lassen sich schreiben als:
> [mm](2,X)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=b_1X+2b_2,\ \mbox{mit}\ b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X]\right\}[/mm]
>
> und
> [mm](a)=\left\{z\in\mathbb{Z}[X]|z=c\cdot a,\ \mbox{mit}\ c\in\mathbb{Z}[X]\right\}.[/mm]
>
> Diese Mengen stimmen überein, wenn ihre Elemente
> übereinstimmen, es also zu allen Polynomen
> [mm]b_1,b_2\in\mathbb{Z}[X][/mm] ein [mm]c \in\mathbb{Z}[X][/mm] gibt mit
> [mm]b_1X+2b_2=c\cdot a.[/mm]
> Für [mm]b_1=1[/mm] und [mm]b_2=0[/mm] bzw. [mm]b_1=0[/mm] und
> [mm]b_2=1[/mm] muss es demnach ganzzahlige Polynome [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> geben mit
> [mm]c_1\cdot a=2[/mm]
> und
> [mm]c_2\cdot a=X.[/mm]
> Aus der ersten Beziehung folgt, dass
> entweder [mm]a=2[/mm], [mm]a=1[/mm] oder [mm]a=-1[/mm] gelten muss. Zusammen mit der
> zweiten Gleichung folgt, dass [mm]a=1[/mm] oder [mm]a=-1[/mm] gelten muss.
> Somit muss es ganzzahlige Polynome [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] für die [mm]\pm 1=p_1\cdot 2+ p_2\cdot X[/mm]
> gilt. Da diese Gleichung nie erfüllt ist (links steht eine
> Einheit des Polynomrings, rechts steht das Nullpolynom, ein
> Vielfaches von [mm]2[/mm] oder ein Polynom mit Grad[mm]\geq 1[/mm]), kann für
> das Element aus [mm](2,X)[/mm] für [mm]b_1=1[/mm] und [mm]b_2=0[/mm] nicht als Element
> von [mm](a)[/mm] dargestellt werden. Demnach ist [mm](2,X)[/mm] kein
> Hauptideal und [mm]R[/mm] kein Hauptidealring.
>
> Was meint Ihr dazu?
Hallo,
es sieht so aus, als hättest Du es jetzt gut verstanden.
Am Ende gefallen mir die Begründungen nicht recht. Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du Dir das Richtige überlegt hast, für die Abgabe würde ich aber unbedingt Gradgründe ins Spiel bringen.
Gruß v. Angela
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