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| Aufgabe | Finde die Basen für die Haupträume der Matrix
C = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -1 } [/mm] |
Hallo,
ich habe erst mal ein problem einen hauptraum für die matrix zu bestimmen; wie mache ich denn grundsätzlich so was?
wäre gut, wenn mir jemand einen ansatz geben würde;
lg
chrissi
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> Finde die Basen für die Haupträume der Matrix
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> C = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -1 }[/mm]
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> Hallo,
>
> ich habe erst mal ein problem einen hauptraum für die
> matrix zu bestimmen; wie mache ich denn grundsätzlich so
> was?
> wäre gut, wenn mir jemand einen ansatz geben würde;
Hallo,
berechne zunächst das charakteristische Polynom und die Eigenwerte mit ihrer algebraischen Vielfachheit.
Habe etwa [mm] \lambda [/mm] die Vielfachheit k.
Dann ist .Kern( [mm] C-\lambda E)^k [/mm] der Hauptraum zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] und dessen Basis ist zu bestimmen.
Gruß v. Angela
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vielen dank für die antwort hat mir weitergeholfen
lg
chrissi
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also für das charakteristische Polynom habe ich
[mm] (-1-\lambda)^2*(1-\lambda)^2, [/mm] also die Eigenwerte -1 und 1
das eingesetzt ergibt dann:
zum Eigenwert 1:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -2 }
[/mm]
potenziert:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -8 & 4 & 8 &-4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 4 }
[/mm]
zum Eigenwert -1:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 }
[/mm]
potenziert:
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 4 & 0 \\ 8 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 }
[/mm]
stimmt das soweit?
für die Basis müssen doch die SPalten zusammen null ergeben oder?
also habe ich dafür EW 1:
[mm] v=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 }
[/mm]
EW -1:
[mm] v=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
ist das so richtig oder ist da noch etwas falsch?
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> also für das charakteristische Polynom habe ich
> [mm](-1-\lambda)^2*(1-\lambda)^2,[/mm] also die Eigenwerte -1 und
> 1
> das eingesetzt ergibt dann:
> zum Eigenwert 1:
>
A-1*E=
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -2 }[/mm]
>
> potenziert:
>
[mm] (A-1*E)^2 [/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -8 & 4 & 8 &-4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 4 }[/mm]
>
> zum Eigenwert -1:
>
A+1*E=
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 }[/mm]
>
> potenziert:
>
[mm] (A+1*E)^2
[/mm]
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & 4 & 0 \\ 8 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 }[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Eigenwerte und charakteristische Polynom stimmen, ob Du richtig potenziert hast, hab' ch nicht nachgerechnet.
>
> für die Basis müssen doch die SPalten zusammen null ergeben
> oder?
???
Zu "die Basis " gehört immer ein "wovon".
Du mußt Dich nun entscheiden, ob Du die Eigenräume oder die Haupträume berechnen willst. (Die Eigenräume sind übrigens Unterräume der Haupträume).
Für die Eigenräume mußt Du [mm] Kern(A\pm1E) [/mm] bestimmen, dies hast Du wohl versucht.
Der Eigenvektor zu 1 ist verkehrt, und da der Nullvektor definitionsgemäß kein Eigenvektor ist, kann der zu -1 auch nicht stimmen.
Zur Berechnung der Kerne bringt man erstmal die matrix auf ZSF, daraus kann man dann die Eigenvektoren bequem erhalten.
Die Haupträume bekommst Du, indem Du die Kerne der beiden quadrierten Matrizen berechnest, auch hier brauchst Du die ZSF.
Wenn es weiter Probleme gibt, rechne vor, wie Du die Kerne bestimmst.
Gruß v. Angela
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> also habe ich dafür EW 1:
> [mm]v=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 }[/mm]
>
> EW -1:
>
> [mm]v=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> ist das so richtig oder ist da noch etwas falsch?
>
>
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ich habe die Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 }
[/mm]
auf ZSF gebracht und bekomme als endmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und somit als EV:
[mm] v=\lambda*\vektor{ -1/4 \\ 1/2 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
ist das so richtig?
lg
chrissi
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Hallo chrissi2709,
> ich habe die Matrix
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 }[/mm]
>
> auf ZSF gebracht und bekomme als endmatrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hier kannst Du noch weiter eliminieren.
>
> und somit als EV:
>
> [mm]v=\lambda*\vektor{ -1/4 \\ 1/2 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> ist das so richtig?
Leider nein.
Aus der Matrix, die Du bekommst, sind 3 Variablen eindeutig bestimmt.
>
> lg
>
> chrissi
Gruss
MathePower
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was geanu is da jetz falsch? wäre dann
v= [mm] \vektor{ -\bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 }?
[/mm]
lg chrissi
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Hallo Christina,
> was geanu is da jetz falsch? wäre dann
> v= [mm]\vektor{ -\bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0 }?[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nehmen wir mal deine (richtige) umgeformte Matrix her, das ist
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Hier steht doch wieder in Gleichung zurück übersetzt in der 3.Zeile: [mm] $0\cdot{}x_1+0\cdot{}x_2+1\cdot{}x_3+0\cdot{}x_4=0$
[/mm]
Also [mm] $x_3=0$
[/mm]
Damit hast du für [mm] $x_3$ [/mm] keine andere Wahl, es ist 0 
Damit gehe in Zeile 2. Was ergibt sich für [mm] $x_4$?
[/mm]
Damit dann in Zeile 1. Was ergibt sich für [mm] $x_1$?
[/mm]
All diese 3 Werte sind eindeutig festgelegt oder bestimmt, einzig die Wahl von [mm] $x_2$ [/mm] bleibt frei ...
Wie sieht also ein Eigenvektor aus? ...
> lg chrissi
LG
schachuzipus
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hab ich dann
[mm] \vektor{ 1 \\ a \\ 0 \\ \bruch{1}{3}} [/mm] ?
lg
chrissi
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Hallo chrissi2709,
> hab ich dann
> [mm]\vektor{ 1 \\ a \\ 0 \\ \bruch{1}{3}}[/mm] ?
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> lg
>
> chrissi
Gruß
MathePower
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sorry war vorher n doofer denkfehler;)
[mm] \vektor{ 0 \\ a \\ 0 \\ 0}
[/mm]
wäre mein Vektor mit a [mm] \not= [/mm] 0;
falls des jetz die antwort auf meine frage war;
danke für eure geduld :)
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Hallo nochmal,
> sorry war vorher n doofer denkfehler;)
>
> [mm]\vektor{ 0 \\ a \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> wäre mein Vektor mit a [mm]\not=[/mm] 0; ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, ganz genau so!
>
> falls des jetz die antwort auf meine frage war;
>
> danke für eure geduld :)
LG
schachuzipus
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