Hauptraumzerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 28.05.2008 | | Autor: | match |
| Aufgabe | | Die Matrix A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1} \in M(n,\IR) [/mm] hat das Minimalpolynom [mm] p_{A} [/mm] = [mm] (t-1)(t+1)^{2} \in \IR[T]. [/mm] Bestimmen sie die Hauptraumzerlegung von A durch Angabe von Basen für die Haupträume [mm] U_{\lambda} \subset \IR^{4} [/mm] und der zugehörigen Projektion [mm] \pi_{\lambda}: \IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] mit Bild [mm] U_{\lambda}. [/mm] |
Hallo,
könnte mir vielleicht jemand erklären wie so eine Hauptraumzerlegung funktioniert?
Habe nämlich keinen Schimmer.
Vielen dank und liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Die Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 } [/mm] hat das Minimalpolynom [mm] p_{A} [/mm] = [mm] (T-1)(T+1)^{2}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Hauptraumzerlegung von A durch Angabe von Basen für die Haupträume [mm] U_{\lambda} \subset \IR^{4} [/mm] und der zugehörigen Projektion [mm] \pi_{\lambda} [/mm] : [mm] \IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] mit Bild [mm] U_{\lambda}. [/mm] |
Also die Basen für die Haupträume hab ich schon ausgerechnet, is ja nicht so schwer...Aber ich hab irgendwie keine Ahnung, was die "zugehörige Projektion" sein soll... kann mir da jemand helfen? Was ist damit gemeint, bzw. wie gebe ich die an???
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> Die Matrix A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 }[/mm]
> hat das Minimalpolynom [mm]p_{A}[/mm] = [mm](T-1)(T+1)^{2}.[/mm]
> Bestimmen Sie die Hauptraumzerlegung von A durch Angabe
> von Basen für die Haupträume [mm]U_{\lambda} \subset \IR^{4}[/mm]
> und der zugehörigen Projektion [mm]\pi_{\lambda}[/mm] : [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm]
> mit Bild [mm]U_{\lambda}.[/mm]
> Also die Basen für die Haupträume hab ich schon
> ausgerechnet, is ja nicht so schwer...Aber ich hab
> irgendwie keine Ahnung, was die "zugehörige Projektion"
> sein soll... kann mir da jemand helfen? Was ist damit
> gemeint, bzw. wie gebe ich die an???
Hallo,
Du solltest jetzt haben [mm] \IR^4= U_1 \oplus U_{-1},
[/mm]
mit [mm] U_1= [/mm] und [mm] U_{-1}=.
[/mm]
Hast Du denn mal nachgeschaut, wie die Projektionen der direkten Summenzerlegung erklärt sind?
Da sind ja gewisse Eigenschaften gefordert.
Über die Eigenschaften v. Projektionen im allgmeinen kannst Du Dich ![[]](/images/popup.gif) hier informeren.
Projektionen sind ja lineare Abbildungen, und diese sind durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Was soll nun die Projektion [mm] \pi_1 [/mm] leisten?
Zunächst mal soll ihr Bild [mm] U_1 [/mm] sein.
man braucht also mindestens zwei linear unabhängige Vektoren, die auf [mm] a_1 [/mm] bzw. [mm] a_2 [/mm] abgebildet werden.
[mm] \pi_1(...):=a_1
[/mm]
[mm] \pi_1(...):=a_2
[/mm]
[mm] \pi_1(...):=?
[/mm]
[mm] \pi_1(...):=?
[/mm]
Entsprechend für [mm] \pi_{-1}.
[/mm]
Dann ist ja noch gefordert, daß [mm] \pi_1\circ \pi_{-1}=0 [/mm] und [mm] \pi__{-1}\circ \pi_1=0 [/mm]
und schließlich [mm] \pi_1+ \pi_{-1}=id_V.
[/mm]
Da kannst Du mal ein bißchen probieren. Entferne Dich nicht zu weit von [mm] (a_1, a_2, b_1, b_2), [/mm] dann bist Du vermutlich schnell am Ziel.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angela,
ich glaube Du irrst Dich mit der Interpretation des Begriffs "zugehörige Projektion".
Sei t ein Eigenwert von A, daan gibt es ein k<4 mit
[mm] R^4 [/mm] = [mm] Bild(tE-A)^k+Kern(tE-a)^k
[/mm]
("+" soll direkte Summe bedeuten)
Die gemeinte Projektion ist die Projektion von [mm] R^4 [/mm] auf [mm] Bild(tE-A)^k [/mm] längs
[mm] Kern(tE-a)^k, [/mm] also die zum Eigenwert t geh. Spektralprojektion
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mi 28.05.2008 | | Autor: | svenpile |
| Aufgabe | | Die Matrix A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1} \in M(n,\IR) [/mm] hat das Minimalpolynom [mm] p_{A} [/mm] = [mm] (t-1)(t+1)^{2} \in \IR[T]. [/mm] Bestimmen sie die Hauptraumzerlegung von A durch Angabe von Basen für die Haupträume [mm] U_{\lambda} \subset \IR^{4} [/mm] und der zugehörigen Projektion [mm] \pi_{\lambda}: \IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] mit Bild [mm] U_{\lambda}. [/mm] |
Könnte mir vielleicht jemand erklären wie so eine Hauptraumzerlegung funktioniert .
Vielen Dank und viele Grüße
Sven
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> Die Matrix A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1} \in M(n,\IR)[/mm]
> hat das Minimalpolynom [mm]p_{A}[/mm] = [mm](t-1)(t+1)^{2} \in \IR[T].[/mm]
> Bestimmen sie die Hauptraumzerlegung von A durch Angabe von
> Basen für die Haupträume [mm]U_{\lambda} \subset \IR^{4}[/mm] und
> der zugehörigen Projektion [mm]\pi_{\lambda}: \IR^{4} \to \IR^{4}[/mm]
> mit Bild [mm]U_{\lambda}.[/mm]
> Hallo,
> könnte mir vielleicht jemand erklären wie so eine
> Hauptraumzerlegung funktioniert?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast ja das charakteristische Polynom [mm] p_{A}=(t-1)^1(t+1)^{2}.
[/mm]
Berechne [mm] H(1):=Kern(A-1*E)^1 [/mm] und [mm] H(-1):=Kern(A+1*E)^2.
[/mm]
Es ist dann [mm] \IR^4=H(1)\oplus [/mm] H(-1).
Das ist Deine Hauptraumzerlegung, ich kenne sie unter der Bezeichnung Primärzerlegung.
Das Schöne an der Hauptraumzerlegung: wenn Du die Basisvektoren v. H(1) und H(-1) als Basis v. [mm] \IR^4 [/mm] verwendest, ist die darstellende Matrix der durch A repräsentierten linearen Abbildung bzgl. dieser Basis eine Blockdiagonalmatrix.
Gruß v. Angela
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