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Hauptsatz d Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mi 19.01.2011
Autor: pppppp

Aufgabe
F(x)=[mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}=\integral_{0}^{x}{\bruch{sin x}{x(1+x^2)} dx}[/mm]

a) geben Sie die Ableitung f(x) der Funktion F(x) an.


Mein Ansatz:

[mm]F(x) = \integral_{0}^{x}{g(x) dx}= G (x) - G (0) [/mm]

also

[mm]f(x)=G' (x) - G' (0) = g(x) - g(0) = \bruch{sin x}{x(1+x^2)}- \bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm]

Da bei [mm]g(0)=\bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm] durch Null geteilt wird geht das nicht, trotzdem ist die Funktion differenzierbar. In der Lösung steht f(x)=g(x) .

Ich habe dann probehalber g(0) durch den limes ersetzt, aber auch da fällt es nicht weg.

[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x(1+x^2)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos x}{1+3x^2)}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-sin x}{6x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-cos x}{6}=\bruch{-cos 0}{6}=\bruch{-1}{6}[/mm]

Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen wie man dieses g(0) zum verschwinden bringt?



        
Bezug
Hauptsatz d Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mi 19.01.2011
Autor: fred97


> F(x)=[mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}=\integral_{0}^{x}{\bruch{sin x}{x(1+x^2)} dx}[/mm]
>  
> a) geben Sie die Ableitung f(x) der Funktion F(x) an.
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]F(x) = \integral_{0}^{x}{g(x) dx}= G (x) - G (0)[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]f(x)=G' (x) - G' (0) = g(x) - g(0) = \bruch{sin x}{x(1+x^2)}- \bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm]
>  
> Da bei [mm]g(0)=\bruch{sin 0}{0(1+0^2)}[/mm] durch Null geteilt wird
> geht das nicht, trotzdem ist die Funktion differenzierbar.
> In der Lösung steht f(x)=g(x) .
>  
> Ich habe dann probehalber g(0) durch den limes ersetzt,
> aber auch da fällt es nicht weg.
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{x(1+x^2)} = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{cos x}{1+3x^2)}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-sin x}{6x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-cos x}{6}=\bruch{-cos 0}{6}=\bruch{-1}{6}[/mm]
>  
> Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen wie man dieses
> g(0) zum verschwinden bringt?


Es ist also

                $g(x)= [mm] \bruch{sin x}{x(1+x^2)}$ [/mm]

Du weißt sicher, dass [mm] $u(x):=\bruch{sin x}{x} [/mm]  stetig fortsetzbar ist in x=0:  [mm] \bruch{sin x}{x} \to [/mm] 1  (x [mm] \to [/mm] 0)

Setze also

  u(x)= [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm]  für x [mm] \ne [/mm] 0 und u(0):=1

Dann ist u stetig auf [mm] \IR [/mm] und damit ist auch g stetig auf [mm] \IR. [/mm]

Setzt man nun

              $F(x):= [mm] \integral_{0}^{x}{g(t) dt},$ [/mm]

so besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnug:  F ist differenzierbar und

                      F'(x)=g(x)

FRED

>  
>  


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