Hauptvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Do 26.03.2009 | | Autor: | physicus |
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Hallo zusammen!
Ich habe da eine kleine Frage bettrefend Hauptvektoren. Sei w [mm] \in V(\lambda)_\phi [/mm] wobei [mm] V(\lambda)_\phi [/mm] der Hauptraum mit Stufe m. Wieso folgt daraus, dass [mm] (\phi [/mm] - [mm] \lambda \cdot id)^{m-1} [/mm] (w) ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist?
Danke für Antwort!
Cheers
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei w [mm]\in V(\lambda)_\phi[/mm] wobei [mm]V(\lambda)_\phi[/mm] der Hauptraum
> mit Stufe m. Wieso folgt daraus, dass [mm](\phi[/mm] - [mm]\lambda \cdot id)^{m-1}[/mm]
> (w) ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist?
Naja, [mm] V(\lambda)=\ker(\phi-\lambda id)^m [/mm] nach Definition. Für [mm] w\in V(\lambda) [/mm] betrachten wir nun [mm] v:=(\phi-\lambda id)^{m-1}(w). [/mm] Dann ist [mm] $\phi(v)-\lambda v=(\phi-\lambda id)(v)=(\phi-\lambda id)^m(w)=0$, [/mm] also [mm] $\phi(v)=\lambda [/mm] v$.
Gruß, Robert
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