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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 28.04.2009 | | Autor: | mona85 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IC_- =\IC\setminus\{z\in\IR|z\le0\}[/mm] die geschlitzte Ebene und sei log: [mm]\IC_-\to\IC[/mm] der HAuptzweig des Logarithmus.
Zeige, dass log(z+1) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}((-1)^{n-1}/n)z^n[/mm] für z[mm]\in[/mm] D.
Zeige auch dass das oben genannte für z im Rand von D ohne -1 gilt |
Ich habe leider gar keine Ahnung wie ich da rangehen soll, kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:14 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\IC_- =\IC\setminus\{z\in\IR|z\le0\}[/mm] die geschlitzte
> Ebene und sei log: [mm]\IC_-\to\IC[/mm] der HAuptzweig des
> Logarithmus.
> Zeige, dass log(z+1) =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}((-1)^{n-1}/n)z^n[/mm] für z[mm]\in[/mm] D.
Berechne dazu die Taylorentwicklung von [mm] $\log(z [/mm] + 1)$ im Punkt $z = 0$. Was ist die $n$-te Ableitung von [mm] $\log(z [/mm] + 1)$?
> Zeige auch dass das oben genannte für z im Rand von D ohne
> -1 gilt
Zeige, dass die Reihe fuer diese $z$ konvergiert. Danach wende den ![[]](/images/popup.gif) Abelschen Grenzwertsatz an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 29.04.2009 | | Autor: | mona85 |
> Berechne dazu die Taylorentwicklung von [mm]\log(z + 1)[/mm] im
> Punkt [mm]z = 0[/mm]. Was ist die [mm]n[/mm]-te Ableitung von [mm]\log(z + 1)[/mm]?
Ich habe mir mal die Taylorentwicklung mit der Form [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(f^{(n)}(a)/n!)(x-a)^n [/mm], als a haben wir ja 0 gewählt, dann kommt bei mir für die n-te Ableitung von log(x+1) immer abwechselnd 1 oder -1 raus, ist das richtig?
Das heißt der erste Faktor wäre dann noch mit n! dividiert, und der zweite wäre ja immer [mm]x^n[/mm], das wäre ja dann genau das Ergebnis zu dem wir kommen wollen! (wenn ich das so richtig gemacht habe)
bei b) tue ich mich leider irgendwie etwas schwerer....
Vielen dank schonmal für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:26 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Berechne dazu die Taylorentwicklung von [mm]\log(z + 1)[/mm] im
> > Punkt [mm]z = 0[/mm]. Was ist die [mm]n[/mm]-te Ableitung von [mm]\log(z + 1)[/mm]?
>
> Ich habe mir mal die Taylorentwicklung mit der Form
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(f^{(n)}(a)/n!)(x-a)^n [/mm], als a haben
> wir ja 0 gewählt, dann kommt bei mir für die n-te Ableitung
> von log(x+1) immer abwechselnd 1 oder -1 raus, ist das
> richtig?
Nein, denn dann wuerde eine andere Taylorentwicklung herauskommen als die in der Aufgabenstellung (und die stimmt).
> Das heißt der erste Faktor wäre dann noch mit n! dividiert,
In der Aufgabenstellung wird aber nur durch $n$ geteilt. Irgendwo muss das $(n - 1)!$ also noch verschwinden.
Schreib doch mal die ersten 5 Ableitungen von [mm] $\log(1 [/mm] + x)$ hier hin.
> und der zweite wäre ja immer [mm]x^n[/mm], das wäre ja dann genau
> das Ergebnis zu dem wir kommen wollen! (wenn ich das so
> richtig gemacht habe)
>
> bei b) tue ich mich leider irgendwie etwas schwerer....
Probier es doch erstmal fuer den Spezialfall $z = 1$. Was passiert da?
Der verbleibende Fall ist $z = [mm] e^{i t}$ [/mm] mit $t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi)$ [/mm] mit $t [mm] \neq \pi$. [/mm] In dem Fall ist [mm] $z^n [/mm] = [mm] e^{i n t} [/mm] = [mm] \cos(n [/mm] t) + i [mm] \sin(n [/mm] t)$. Jetzt schau dir mal Real- und Imaginaerteil der Reihe getrennt an.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:14 Do 30.04.2009 | | Autor: | mona85 |
> Schreib doch mal die ersten 5 Ableitungen von [mm]\log(1 + x)[/mm]
> hier hin.
>
Also die erste Ableitung von log(z+1) = [mm]\bruch{1}{z+1} [/mm](nach Kettenregel)
zweite Ableitung = [mm] \bruch{-1}{(z+1)^2}[/mm](mit [/mm] Quotientenregel)
dritte Ableitung = [mm] \bruch{2}{(z+1)^3}[/mm]
[/mm]
vierte Ableitung = [mm] \bruch{-6}{(z+1)^4} [/mm] [/mm]
fünfte Ableitung = [mm] \bruch{24}{(z+1)^5}[/mm]
[/mm]
Wenn die Ableitungen so richtig sind, dann bedeutet das für die ersten 5 GLieder der Taylorreihe:
[mm] 0+x-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{5}x^5 ...[/mm]
Das ist nun aber richtig, oder?? Wir hätten ja jetzt n! eliminiert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 05.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo zusammen!
Ich hab die Aufgabe genau bis zu diesem Punkt fertig und bin auf folgende Reihe für den Einheitskreis gekommen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] cos(n [mm] \gamma) [/mm] + i [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] sin(n [mm] \gamma)
[/mm]
[mm] \gamma \in (-\Pi, \Pi) [/mm] mit [mm] \gamma \not=0
[/mm]
Würde nun Real und imaginärteil konvergieren (was sie mit wahrscheinlich tun), so wäre ich fertig, aber ich komm irgendwie nicht drauf, nach welchem Kriterium ich das hier zeigen kann.
Sieht ja schon aus wie eine Fourier-Reihe, aber das brachte mir bisher auch nichts.
Bin für jede Hilfe dankbar.
GREETz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 05.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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