Hausdorff-Integral,Kreisradius < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:52 Fr 30.03.2012 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit einer Methode Ihrer Wahl das folgende Integral:
[mm] \integral_{\mathcal{S}^2}^{}{x_1^2x_2^2 d\mathcal{H}^2} [/mm] |
Leider konnte mir bei meiner letzten Frage zum Hausdorff-Integral keiner helfen, aber ich versuchs einfach nochmal. Im Grunde weiß ich fast komplett was ich machen muss, nur am Ende kann ich eine Integrationsgrenze nicht nachvollziehen. Ich fang einfach mal an:
[mm] \integral_{\mathcal{S}^2}^{}{x_1^2x_2^2 d\mathcal{H}^2}
[/mm]
= [mm] \integral_{\mathcal{S}^2}^{}{(x_1x_2^2, 0) * (x_1, x_2) d\mathcal{H}^2}
[/mm]
Mit Satz von Gauß gilt nun:
= [mm] \integral_{\mathcal{B}^3}^{}{x_2^2 \lambda^3(x)}
[/mm]
Das genaue Argument weiß ich gerade gar nicht, aber da wir auf einer Sphäre sind können wir auch schreiben:
= [mm] \bruch{1}{3}*\integral_{\mathcal{B}^3}^{}{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \lambda^3(x)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}*\integral_{\mathcal{B}^3}^{}{|x| \lambda^3(x)}
[/mm]
Exakte Begründung kann ich wieder nicht nennen, auf jeden Fall ist |x| = [mm] R^2 [/mm] eine Kreisgleichung und damit können wir wieder in ein Hausdorff-Integral überführen:
= [mm] \bruch{1}{3}*\integral_{0}^{1}\integral_{\mathcal{S_R}}^{}{R^2d\mathcal{H}(x)dR}
[/mm]
Womit wir dann letztendlich auf's Ergebnis kommen. Was ich allerdings nicht nachvollziehen kann ist warum wir den Radius ganz am Ende nur von 0 bis 1 integrieren. Geht irgendwo raus hervor, dass es sich um die Einheitssphäre handelt? Ansonsten müssten wir doch von 0 bis [mm] \infty [/mm] integrieren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie mit einer Methode Ihrer Wahl das folgende
> Integral:
>
> [mm]\integral_{\mathcal{S}^2}^{}{x_1^2x_2^2 d\mathcal{H}^2}[/mm]
>
> Leider konnte mir bei meiner letzten Frage zum
> Hausdorff-Integral keiner helfen, aber ich versuchs einfach
> nochmal. Im Grunde weiß ich fast komplett was ich machen
> muss, nur am Ende kann ich eine Integrationsgrenze nicht
> nachvollziehen. Ich fang einfach mal an:
>
> [mm]\integral_{\mathcal{S}^2}^{}{x_1^2x_2^2 d\mathcal{H}^2}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\mathcal{S}^2}^{}{(x_1x_2^2, 0) * (x_1, x_2) d\mathcal{H}^2}[/mm]
>
> Mit Satz von Gauß gilt nun:
> = [mm]\integral_{\mathcal{B}^3}^{}{x_2^2 \lambda^3(x)}[/mm]
> Das
> genaue Argument weiß ich gerade gar nicht, aber da wir auf
> einer Sphäre sind können wir auch schreiben:
> = [mm]\bruch{1}{3}*\integral_{\mathcal{B}^3}^{}{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \lambda^3(x)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}*\integral_{\mathcal{B}^3}^{}{|x| \lambda^3(x)}[/mm]
>
> Exakte Begründung kann ich wieder nicht nennen, auf jeden
> Fall ist |x| = [mm]R^2[/mm] eine Kreisgleichung und damit können
> wir wieder in ein Hausdorff-Integral überführen:
> =
> [mm]\bruch{1}{3}*\integral_{0}^{1}\integral_{\mathcal{S_R}}^{}{R^2d\mathcal{H}(x)dR}[/mm]
> Womit wir dann letztendlich auf's Ergebnis kommen. Was ich
> allerdings nicht nachvollziehen kann ist warum wir den
> Radius ganz am Ende nur von 0 bis 1 integrieren. Geht
> irgendwo raus hervor, dass es sich um die Einheitssphäre
> handelt? Ansonsten müssten wir doch von 0 bis [mm]\infty[/mm]
> integrieren?
ist [mm] $\mathcal{B}^3$ [/mm] nicht die Einheitskugel? Folgt das nicht dann damit?
Vielleicht irre ich mich aber auch... ist spät ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mo 02.04.2012 | | Autor: | sigmar |
Du hast natürlich recht, [mm] \mathcal{B}^3 [/mm] ist die Einheitskugel. Damit ist es dann klar. :)
|
|
|
|
