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| Aufgabe | | Man beweise: jede beschränkte, A-messbare, reelle Funktion f ≥ 0 auf einem Messraum (Ω,A) ist der gleichmässige limes einer Isotonen Folge von A-Elementarfunktion. |
Könnte mir jemand sagen, wie ich das lösen kann? Vielen Dank im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Jürgen,
wo ist jetzt genau dein Problem bei dieser Aufgabe?
Gründsätzlich oder bei dem "i-tüpfelchen" 
Das Grundsätzliche bei dieser Aufgabe ist ja:
1.) Jede nichtnegative A-mb Funktion f ist punktweiser Limes isotoner A-Elementarfunktionen.
2.) Das i-tüpfelchen: Aus der Beschränktheit folgt sogar die Existenz einer Folge, die gleichmäßig Konvergiert.
Den 1.) Teil der Aufgabe findet man in jedem Lehrbuch zu dem Thema.
Der 2.) erfordert dann eine Überlegung, wie man aus der Beschränktheit die gleichmäßige Konvergenz folgern kann.
Liebe Grüße,
Gono.
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Hallo Gonozal_IX,
genau die Überlegeung wie ich aus der Beschränktheit die gleichmäßige Konvergenz folgern kann benötige ich. Die fehlt mir einfach nicht ein bzw weiss nicht wo ich da anfangen soll.
Lg Juergen881
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Huhu,
stell deine Frage doch nächstemal auch als solche, ansonsten übersieht man sie leicht 
Aber zu deiner Frage:
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier Satz 2.9.
Dort wird 1.) mit Hilfe einer konstruierten Folge von einfachen Funktionen bewiesen. Was passiert nun, wenn f (in dem Satz X genannt) beschränkt ist? Insbesondere mit Ungleichung 2.6 in dem Beweis?
MFG,
Gono.
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Hi nochmal,
also ist meine Funktion beschränkt und sie hat ein gleichmässige limes. Oder?
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Hiho,
> also ist meine Funktion beschränkt und sie hat ein
> gleichmässige limes. Oder?
naja, ja schon.
Die Frage ist nur, ob du anhand der Ungleichungen auch verstanden hast, warum das so ist.
Das hast du bisher nicht erklärt.
MFG,
Gono.
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wir nehmen die differenz von folge und funktion und diese ist kleiner als die intervallänge.
und die Funktion ist nicht abhängig von y.
Kann man dass so erklären?
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> wir nehmen die differenz von folge und funktion und diese
> ist kleiner als die intervallänge.
> und die Funktion ist nicht abhängig von y.
Die Abschätzung ist nicht abhängig von y, sondern nur von n (und geht gegen Null für [mm] $n\to\infty$).
[/mm]
Das ist das Wichtige an der Sache
> Kann man dass so erklären?
Ja. Aber auch warum es so ist, sollte dir klar sein (also warum für die Indikatorfunktion [mm] $1_{\{X_n \le n\}} [/mm] = 1$ für n ausreichend groß gilt).
MFG,
Gono.
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das ist mir nicht klar :S
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Hallo Jürgen,
nochmal der Hinweis: Wenn du eine Frage hast, dann stell es bitte auch als Frage ein und NICHT als Mitteilung.
Ansonsten kann es vorkommen, dass es einfach ignoriert wird
Zu deiner Frage:
Schau dir mal an, wie die [mm] X_n [/mm] genau definiert sind.
So gilt ja:
[mm] $X_n(\omega) [/mm] = n$ für $X(y) [mm] \ge [/mm] n + [mm] 2^{-n}$
[/mm]
Ist X (was ja die Rolle deines f übernimmt) nun beschränkt, so gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass der Fall $X(y) [mm] \ge [/mm] n + [mm] 2^{-n}$ [/mm] nicht mehr eintritt.
D.h. es bleibt nur der erste Teil der Definition übrig und die hat einen maximalen Abstand von [mm] $2^{-n}$ [/mm] zu X und konvergiert damit gleichmäßig gegen X.
MFG
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 So 22.01.2012 | | Autor: | juergen881 |
ok mach ich das nächste mal. ok jetzt ist es alles einleuchtend. vielen danke
lg jürgen
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