Helmholtzgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mi 27.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Hallo,
ich suche eine Lösung der Helmholtzgleichung:
[mm] -\Delta [/mm] u(x) + [mm] a^{2} [/mm] u(x)=0 in [mm] \Omega=[0,1]²
[/mm]
mit Randbedingungen
[mm] u(x)=V\not=0 [/mm] auf [mm] \partial\Omega
[/mm]
wobei [mm] x\in\IR² [/mm] und [mm] a\in\IR
[/mm]
In der Literatur habe ich die Integralgleichungsmethode und die Methode der konformen Abbildungen gefunden, da ich aber gar keine Erfahrung mit dem analytischen Lösen von partiellen Differentialgleichungen habe, komm ich mit den doch sehr komplizierten Formeln überhaupt nicht klar. Wenn jemand (im besten Fall), die exakte Lösung schnell berechnen kann und mir noch kurz den Rechenweg darstellt, wär ich sehr froh. Aber ich freu mich auch über helfende Erklärungen zu den oben erwähnten Methoden.
Ich weiß auch, dass es einen Eindeutigkeitssatz gibt, der besagt, dass wenn eine Lösung existiert, es die einzige Lösung ist.
Vielen Dank,
Susann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mi 27.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susann!
> ich suche eine Lösung der Helmholtzgleichung:
>
> [mm]-\Delta[/mm] u(x) + [mm]a^{2}[/mm] u(x)=0 in [mm]\Omega=[0,1]²[/mm]
>
> mit Randbedingungen
>
> [mm]u(x)=V\not=0[/mm] auf [mm]\partial\Omega[/mm]
>
> wobei [mm]x\in\IR²[/mm] und [mm]a\in\IR[/mm]
>
> In der Literatur habe ich die Integralgleichungsmethode und
> die Methode der konformen Abbildungen gefunden, da ich aber
> gar keine Erfahrung mit dem analytischen Lösen von
> partiellen Differentialgleichungen habe, komm ich mit den
> doch sehr komplizierten Formeln überhaupt nicht klar. Wenn
> jemand (im besten Fall), die exakte Lösung schnell
> berechnen kann und mir noch kurz den Rechenweg darstellt,
> wär ich sehr froh. Aber ich freu mich auch über helfende
> Erklärungen zu den oben erwähnten Methoden.
>
> Ich weiß auch, dass es einen Eindeutigkeitssatz gibt, der
> besagt, dass wenn eine Lösung existiert, es die einzige
> Lösung ist.
Das Gebiet $Omega$ ist ja rechteckig. Bei so einem symmetrischen Gebiet bietet es sich an, einen Produktansatz zu machen: Für [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] setze [mm] $u(x)=u_1(x_1)*u_2(x_2)$. [/mm] (Wenn das Gebiet ein Kreis wäre, würde man statt [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] Polarkoordinaten wählen).
Nach dem Einsetzen dividierst du die DGL durch u. Dann zerfällt sie in eine Summe aus zwei Summanden; einer hängt nur noch von [mm] $x_1$ [/mm] ab, der andere von [mm] $x_2$. [/mm] Daher muss jeder der beiden für sich konstant sein, und deine DGL zerfällt in zwei gewöhnliche mit konstanten Koeffizienten.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 27.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Danke für deine Antwort. Eine Lösung mit dem Separationsansatz hatte ich auch gefunden, aber diese hat die Randbedingungen nicht erfüllt.
Ich komme also auf den Ausdruck:
[mm] (u_{1}(x_{1}))^{-1} \frac{\partial²u_{1}(x_{1})}{\partial x_{1}²}+(u_{2}(x_{2}))^{-1} \frac{\partial²u_{2}(x_{2})}{\partial x_{2}²}=a²
[/mm]
Setze ich nun
[mm] (u_{1}(x_{1}))^{-1} \frac{\partial²u_{1}(x_{1})}{\partial x_{1}²}= a²-(u_{2}(x_{2}))^{-1} \frac{\partial²u_{2}(x_{2})}{\partial x_{2}²}=:\lambda
[/mm]
oder was mach ich mit dem a?
Und welche Randbedingungen muss ich für die beiden DGLen annehmen? Ich würde bei der von [mm] x_{1} [/mm] abhängenden Gleichung auf [mm] u_{1}(0)=u_{1}(1)=V, [/mm] bei der von [mm] x_{2} [/mm] abhängenden entsprechend [mm] u_{2}(0)=u_{2}(1)=V+a²
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Do 28.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für deine Antwort. Eine Lösung mit dem
> Separationsansatz hatte ich auch gefunden, aber diese hat
> die Randbedingungen nicht erfüllt.
>
> Ich komme also auf den Ausdruck:
>
> [mm](u_{1}(x_{1}))^{-1} \frac{\partial²u_{1}(x_{1})}{\partial x_{1}²}+(u_{2}(x_{2}))^{-1} \frac{\partial²u_{2}(x_{2})}{\partial x_{2}²}=a²[/mm]
>
> Setze ich nun
>
> [mm](u_{1}(x_{1}))^{-1} \frac{\partial²u_{1}(x_{1})}{\partial x_{1}²}= a²-(u_{2}(x_{2}))^{-1} \frac{\partial²u_{2}(x_{2})}{\partial x_{2}²}=:\lambda[/mm]
>
> oder was mach ich mit dem a?
Im Prinzip so, außer, dass man normalerweise schreibt:
[mm](u_{1}(x_{1}))^{-1} \frac{d^2 u_{1}(x_{1})}{d x_{1}^2}= \lambda^2[/mm]
und
[mm](u_{2}(x_{2}))^{-1} \frac{d^2 u_{2}(x_{2})}{d x_{2}^2}= \kappa^2[/mm]
mit $ [mm] \lambda^2+\kappa^2=a^2 [/mm] $.
> Und welche Randbedingungen muss ich für die beiden DGLen
> annehmen? Ich würde bei der von [mm]x_{1}[/mm] abhängenden Gleichung
> auf [mm]u_{1}(0)=u_{1}(1)=V,[/mm] bei der von [mm]x_{2}[/mm] abhängenden
> entsprechend [mm]u_{2}(0)=u_{2}(1)=V+a²[/mm]
Nein, das kannst du so nicht machen. Meistens bestimmt man die allgemeinen Lösungen der beiden gewöhnlichen DGLen, setzt die Ergebnisse zusammen und dann die Randbedingungen ein.
Die Randbedingung ist, für die vier Randstücke getrennt geschrieben:
$ [mm] u_1(0)u_2(x_2) [/mm] = [mm] V(0,x_2) [/mm] $, $ [mm] u_1(1)u_2(x_2) [/mm] = V [mm] (1,x_2)$, $u_1(x_1) u_2(0) =V(x_1,0)$, $u_1(x_1)u_2(1) [/mm] = [mm] V(x_1,1)$.
[/mm]
Wenn jetzt [mm] $V\not=0$ [/mm] eine Konstante ist, so folgt daraus, dass [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] konstant sind und damit auch $u(x)=V$. Das ergibt aber nur für a=0 eine Lösung der DGL. Für V=0 ist die Situation anders, denn daraus folgt nur [mm] $u_1(0)=u_1(1)=u_2(0)=u_2(1)=0$.
[/mm]
Ich habe zwei Links gefunden zum Thema:
![[]](/images/popup.gif) Schwingungen einer zweidimensionalen Membran
Eine Diplomarbeit über eine spezielle Lösungsmethode. Das erste und der Anfang des zwiten Kapitels helfen dir vielleicht weiter.
Im Moment habe ich nur folgende Idee: Mit der Substitution $u(x)=V+w(x)$ ergibt sich eine inhomogene Helmholtzgleichung für w(x), aber mit der Randbedingung $w(x)=0$ auf [mm] $\partial \Omega$. [/mm] Die zugehörige homogene DGL lässt sich lösen (siehe den ersten der beiden Links). Die nötige spezielle Lösung der inhomogenen DGL müsste man mittels der Greenschen Funktion (Fundamentallösung) bestimmen können.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:06 Fr 29.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Danke für deine Hilfe.
Leider komm ich damit aber nicht weiter. Ich habe durchaus bereits Literatur zu dem Thema gefunden, aber ich hoffe immer noch inständig, dass es einfacher geht als mit Greenscher Funktion, Integralgleichungsmethode und Hankel-Funktionen. Es ist doch ein wirklich sehr simples Gebiet und keine hochgradig komplizierte DGL.
Weitere Lösungsvorschläge meinerseits wären
(i) eine Transformation des Gebietes
für den Kreis lässt sich diese DGL mit den Randbedingungen simpel lösen, ist es mögliche, eine Abbildung zu finden, so dass sie die Bedingungen auch auf einem quadratischen Gebiet erfüllt?
(ii) eine Reihe von sinh und cosh-Funktionen, die die DGL immer erfüllen und dessen Grenzwert zusätzlich die Randbedingungen erfüllen
Ich bin nur nicht fähig, diese Gedanken umzusetzen. Es gibt bestimmt mehrere Möglichkeiten, die DGL zu lösen. Wenn jemand genug Erfahrung hat um spontan sagen zu können, welcher Weg am effizientesten zum Weg führt, wäre das echt toll.
Grüße, Susann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Sa 01.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susann!
> Leider komm ich damit aber nicht weiter. Ich habe durchaus
> bereits Literatur zu dem Thema gefunden, aber ich hoffe
> immer noch inständig, dass es einfacher geht als mit
> Greenscher Funktion, Integralgleichungsmethode und
> Hankel-Funktionen. Es ist doch ein wirklich sehr simples
> Gebiet und keine hochgradig komplizierte DGL.
Die DGL sieht harmlos aus, das gestehe ich dir zu. Die Lösung muss deswegen überhaupt nicht einfach sein. In drei Raumdimensionen kenne ich mich damit besser aus; da taucht sie bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf. Dummerweise lassen sich die speziellen Lösungsmethoden nicht auf zwei Dimensionen übertragen.
> Weitere Lösungsvorschläge meinerseits wären
> (i) eine Transformation des Gebietes
> für den Kreis lässt sich diese DGL mit den Randbedingungen
> simpel lösen, ist es mögliche, eine Abbildung zu finden, so
> dass sie die Bedingungen auch auf einem quadratischen
> Gebiet erfüllt?
Du kannst das Gebiet transformieren (zum Beispiel bildet [mm] $w=\exp(z)$ [/mm] ein Rechteck in der komplexen Ebene auf einen Kreisring ab), aber ich sehe nicht, wie die DGL dadurch einfacher wird. (Das hat auch einen Namen: Conservation of Trouble  )
Der Separationsansatz ist normalerweise die Methode der Wahl.
> (ii) eine Reihe von sinh und cosh-Funktionen, die die DGL
> immer erfüllen und dessen Grenzwert zusätzlich die
> Randbedingungen erfüllen
Das scheint mir schon eher geeignet. Aber auch da würdest du die Lösung als Produkt, zum Beispiel
$ [mm] \cosh(k_1 x_1+c_1) [/mm] * [mm] \cosh (k_2*x_2+c_2) [/mm] $ mit $ [mm] k_1^2+k_2^2=a^2$
[/mm]
ansetzen. Ich fürchte allerdings, dass du die Lösung nicht als Reihe schreiben kannst, sondern über [mm] $k_1$/$k_2$ [/mm] integrieren musst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 16.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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