Herleitbarkeit <-> Kalkül < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Fr 11.12.2009 | | Autor: | massimo |
| Aufgabe | Frage: kann "herleitbar" unabhängig von einem Kalkül definiert
werden?
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Also irgendwie find ich die Frage trivial, da ich sie eind. mit nein
beantworten würde - und das macht mich stutzig ... würd mich
freuen, wenn jemand was dazu schreibt.
Genaue Antwort: eine Aussage ist (in einem Hilbertkalkül) herleitbar gdw
es eine Herleitung gibt. Ist diese also nicht trivial (werden also z.B.
Schlussregeln wie der Modus ponens (oder andere, wenn man z.B.
modal unterwegs ist) oder (Kalkül)Axiome benutzt), so muss man auf
den Kalkül zurückgreifen. Also "nein".
Grüße,
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi,
also für mich ist die Frage nicht eindeutig gestellt.
Also was soll dieses "herleitbar" anschaulich sein?
Ich kann ja auch einfach irgend einen Mist definieren, z.B. "Eine Aussage ist genau dann herleitbar, wenn sie fünf Zeichen enthält."
Ausserdem ist es ja auch noch von Kalkül zu Kalkül verschieden. Also "A oder nicht A" ist in der Minimallogik nicht herleitbar aber wohl in der klassischen Logik.
Ist das, was du hingeschrieben hast, wirklich schon der gesamte Aufgabentext?
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 12.12.2009 | | Autor: | massimo |
Zuerst einmal danke für die Antwort. Ferner:
>also für mich ist die Frage nicht eindeutig gestellt.
>Also was soll dieses "herleitbar" anschaulich sein?
Eind. gestellt ist die imho schon. Unter herleitbar verstehe ich das |-
(siehe z.B. "Hilbertkalkül", Abschnitt "Syntax" in der deutschen Wiki).
Eine andere (theoretisch) mögliche Interpretation wäre das
"beweisbar"-Prädikat B, d.h.: (a, c) aus B gdw.
a Gödelnummer einer Formel A, c Gödelnummer der Herleitung von A
(bzgl. des zugrunde gelegten Kalküls).
>Ist das, was du hingeschrieben hast, wirklich schon der gesamte
>Aufgabentext?
Ist eine Frage aus ner mündlchen Hauptdiplomprüfung in Logik.
Grüße,
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Zuerst einmal danke für die Antwort. Ferner:
>
> >also für mich ist die Frage nicht eindeutig gestellt.
> >Also was soll dieses "herleitbar" anschaulich sein?
> Eind. gestellt ist die imho schon. Unter herleitbar
> verstehe ich das |-
> (siehe z.B. "Hilbertkalkül", Abschnitt "Syntax" in der
> deutschen Wiki).
Du definierst also "herleitbar" mit "herleitbar". Super!
Ich meine: Das Zeichen "|-" ist einfach bloß eine Abkürzung für "herleitbar", damit man nicht so viel schreiben muss immer.
> Eine andere (theoretisch) mögliche Interpretation wäre
> das
> "beweisbar"-Prädikat B, d.h.: (a, c) aus B gdw.
> a Gödelnummer einer Formel A, c Gödelnummer der
> Herleitung von A
> (bzgl. des zugrunde gelegten Kalküls).
Auch hier verwendest du zum Erklären von "herleitbar" das Wort "Herleitung".
Also nochmal: Um diese Frage beantworten zu können, muss man erstmal wissen, was dieses "herleitbar" sein soll.
Eine mögliche Mündliche Definition wäre z.B. "eine Formel A ist aus einer Formelmenge B herleitbar, wenn es eine Herleitung im Hilbertkalkül von A aus B gibt".
Beachte, dass ich hier zwar wieder "Herleitung" benutzt habe in der Definition, aber das ist eine andere "Herleitung" (nämlich die im Hilbertkalkül) als die, die ich definieren will.
Das muss man deswegen so machen, weil es eben einen Unterschied darstellt, ob ich im Hilbertkalkül was herleite, oder im natürlichen Schließen mit der Minimallogik.
So, und jetzt kannst du hergehen und versuchen die oben definierte "Herleitbarkeit" ohne Verwendung des Kalküles zu definieren.
Wie macht man sowas? Ich weiss es nicht genau. Eine Möglichkeit die mir einfällt wäre z.B. so ein "beweisbar"-Prädikat wie bei den Gödelnummern zu konstruieren, d.h. eine Formel in der formalen Sprache, die du gegeben hast, anzugeben, welche für passende Eingaben dann entweder "Ja" oder "Nein" zurückgibt - eben "herleitbar" oder "nicht-herleitbar".
Jetzt habe ich aber schon leider vergessen wie dieses Gödelprädikat da genau definiert wurde. Ich gehe aber mal stark davon aus, dass es "passend" ist, d.h. ohne ein Kalkül zu verwenden. Somit wäre die Antwort auf die anfängliche Frage "Ja".
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Sa 12.12.2009 | | Autor: | massimo |
1)
> Du definierst also "herleitbar" mit "herleitbar". Super!
Ich def. rein garnichts. Es ging um die Frage, ob ich das
gewöhnliche "|-" ohne Bezug auf den Kalkül def. kann.
Mit dem vorigen Kommentar wollte ich nur präzesieren,
was ich unter herleitbar verstehe - also insb. nicht sowas,
aehm, freundlich formuliert, exotisches wie
> "Eine Aussage ist genau dann herleitbar, wenn sie fünf Zeichen enthält."
2)
>Eine mögliche Mündliche Definition wäre z.B. "eine Formel A ist aus einer
>Formelmenge B herleitbar, wenn es eine Herleitung im Hilbertkalkül von A
>aus B gibt".
Erstens nicht mündlich, sondern metalogisch. Zweitens ist das auch
die Standarddef. von |- die man beim Aufbau des Hilbertkalküls wählt.
Man muss also entscheiden, ob man |- anders als oben erwähnt ohne
den Bezug zum Kalkül def. kann. Nun, nachdem wir uns (hoffentlich) über
die Fragestellung einig sind, weiter im Kontext:
3)
>Wie macht man sowas? Ich weiss es nicht genau. Eine Möglichkeit die mir
>einfällt wäre z.B. so ein "beweisbar"-Prädikat wie bei den Gödelnummern
>zu konstruieren, d.h. eine Formel in der formalen Sprache, die du
>gegeben hast, anzugeben, welche für passende Eingaben dann
>entweder "Ja" oder "Nein" zurückgibt - eben "herleitbar" oder "nicht-
>herleitbar".
Ich neige stark dazu anzunehmen, dass eine solche Formel wegen
des Theorems von Tarski (über die Undef. der Wahrheit) nicht ex., aber ich
sehe nicht direkt den Wid.. Ist jetzt aber auch egal, denn unter der Dusche
kam mir grad die Antwort:
nach dem Vollständigkeitssatz gilt T |- A <=> T |= A. Und T |= A ist eine
rein modelltheoretische Aussage, welche ohne Bezug auf den Hilbertkalkül
def. werden kann. Die Antwortet lautet also ja. Trotzdem danke für
die "Antworten".
Grüße,
Max
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